2017年東邦大東邦の問題です。
図のような長方形ABCDにおいて,辺ADを3等分する点をE,Fとします。 また,ACとBDの交点をG, ACとBFの交点をH,BDとCFの交点をIとします。
このとき,次の問いに答えなさい。
(1)(AHの長さ)と(HGの長さ)の比を最も簡単な整数で表しなさい。
(2)(三角形AGFの面積)と(三角形BGHの面積)の比を最も簡単な整数で表しなさい。
(3)(三角形CIGの面積と三角形DFIの面積の差)と(三角形BGHの面積)の比を 最も簡単な整数で表しなさい。
【解説と解答】
（１）AH：HC＝2：3 AG：GC＝1：1よりAH：HG：GC＝4：1：5
（答え）4：1
（２）三角形AGFの底辺を【2】、高さを（1）とすると三角形BGCの底辺は【3】、高さは(1)となり面積比は2：3 三角形BGH：三角形BGC＝1；5より
三角形AGF：三角形BGH＝10：3
（答え）10：3
（３）三角形CIGと三角形DFIの差は三角形GCFと三角形FGDとの差に等しい。
三角形GCFは長方形ABCDの6分の1、三角形FGDは長方形ABCDの12分の1に等しいのでその差は12分の1。三角形BGHは長方形ABCDの2分の1の10分の1だから20分の1になるので、求める比は5：3
（答え）5：3
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