力のつりあいに関する問題

2019年　聖光学院の問題です。

同じはかりを2つ使って，［実験1］～［実験4］をおこないました。図1のように，これらのはかりの皿の上に半球形のゴムを固定して，はかりの目盛りが0gを示すように調整しました。このとき，床からはかりの皿までの高さは20cmでした。あとの（1）～（9）の問いに答えなさい。

［実験1］　図2のように，重さ25gで長さ120cmの直方体の金属棒Aをはかりにのせたところ，水平になって止まっていました。このとき，金属棒がゴムと接している位置は，棒の左端から15cmと右端から15cmでした。

次に，皿の上の金属棒Aの上に，金属棒Aと同じものをぴったりと重ねていきました。1本ずつ金属棒を増やしたとき，皿の上の金属棒の本数と床からはかりの皿までの高さを調べたところ，次の表のようになりました。

（1）1つのはかりだけを使い，そのはかりの皿に10gのおもりをのせると，はかりの皿は何cm下がりますか。

［実験2］　図3のように，2つのはかりの間隔を狭くして，重さ150gで長さ120cmの直方体の金属棒Bをのせたところ，少し傾いて止まっていました。このとき，金属棒がゴムと接している位置は，棒の左端から15cmと右端から30cmでした。

（2）　左のはかりが示す値は何gですか。
（3）　床から右のはかりの皿までの高さは何cmですか。

［実験3］　図4のように，重さ150gで長さ120cmの直方体の金属棒Bをのせ，重さ50gのおもりを軽い糸でつり下げたところ，少し傾いて止まっていました。このとき，金属棒がゴムと接している位置は，棒の左端から15cmと右端から30cmで，おもりをつり下げた位置は，棒の左端から45cmでした。

（4）　右のはかりが示す値は何gですか。
（5）　床から右のはかりの皿までの高さは何cmですか。
（6）　右のはかりだけを左右どちらかに動かして，この金属棒を水平にしました。このとき，右のはかりをどちらへ何cm動かしましたか。

［実験4］　図5のような，重さ150gで長さ60cmの直方体の金属棒Cと，重さ120gで長さ60cmの直方体の金属棒Dを曲がらないようにしっかりとつないで，まっすぐな金属棒Eを作りました。

　図6のように，金属棒Eをのせたところ，少し傾いて止まっていました。このとき，金属棒Eが左のはかりのゴムと接している位置は，棒の左端から30cmでした。

（7）　金属棒Eが右のはかりのゴムと接している位置が樺の右端から30cmのとき，右のはかりが示す値は何gですか。
（8）　床から左のはかりの皿までの高さは何cmですか。
（9）　右のはかりだけを左右どちらかに動かして，金属棒Eを水平にしました。このとき，金属棒Eが右のはかりのゴムと接している位置は，棒の右端から何cmですか。ただし，答えが割り切れない場合は，小数第2位を四捨五入して小数第1位まで答えなさい。

【解説と解答】
(1))表から1本加えるごとに0.5cm下がっていることがわかります。棒の重さは25gですが2つのはかりで均等に支えているので、1つのはかりには12.5gかかっていることがわかります。1つのはかりで10gですから、その5分の4が下がるので0.5×$$\frac{4}{5}$$＝0.4cm
（答え）0.4cm
(2)長さ120cmの均等な棒の重心は左から60cmのところになるので、左のはかりから重心までが45cm、右のはかりからは30cmです。したがって45：30＝3：2ですから重さは2：3でかかります。150÷（2＋3）×2＝60g
（答え）60g
(3)右のはかりは90gかかっていますから、10gで0.4cmですから90gで3.6cm。20ー3.6＝16.4cm
（答え）16.4cm
(4)おもりは左のはかりから30cm、右のはかりからは45cmの位置にいますから、35：45＝2：3ですからおもりの5分の2が右のはかりにかかります。おもりは50gですから、右にかかるのは20g。90＋20＝110g。
（答え）110g
(5)右のはかりは0.4×11＝4.4cm下がるので20－4.4＝15.6cm
（答え）15.6cm
(6)右のはかりを動かします。棒の重心は左のはかりから45cmのところにあります。左のおもりの位置を支点にすると150×45＋50×30＝6750＋1500＝8250　
２つのおもりには同じ重さがかかるので、（150＋50）÷2＝100ｇですから、8250÷100＝82.5cm　今は左のはかりから75cmの位置にいますから、右に7.5cmずらせば良いことになります。
（答え）右　7.5cm
(7)金属棒Eは棒の重さを考えず、左端から30cmのところに150g、右端から30cmのところに120gのおもりがかかっていることになります。したがって左のはかりには150g、右のはかりには120gかかっています。
（答え）120g
(8)左のはかりは0.4×15＝6cmさがるので20－6＝14cm
（答え）14cm
(9)金属棒の重さは270gで、その重心の位置は左のはかりと右のはかりの間を左から120：150＝4；5の位置にあるので、60×$$\frac{4}{4+5}$$=$$\frac{80}{3}$$
左のはかりと右のはかりにかかる重さは同じになるので（120＋150）÷2＝135
270×$$\frac{80}{3}$$÷135＝53.33･･･＝53.3cm
120－30－53.3＝36.7となり右からは36.7cmになります。
（答え）36.7cm