2017年麻布中学の問題です。
111、1121のように、1、2の2種類の数字だけからなる整数を考えます。
このような整数Aに対し、以下の規則で定まる整数を［A］と表します。
（規則1）Aが1桁の整数1、2の場合、［1］＝2、［2］＝1とします。
（規則2）Aが2桁以上の整数で一番大きな位の数字が1の場合、つまり、Aが1Bと表せるときは、［A］＝Bとします。例えば、
［112］＝12、
［12112］＝2112
です。
（規則3）Aが2桁以上の整数で一番大きな位の数字が2の場一乱つまり、Aが2Bと表せるときは、［A］＝［B］［B］とします。ただし、［B］［B］は［B］を2つ並べてできる整数を表します。例えば、
［22］＝［2］［2］＝11、
［21121］＝［1121］［1121］＝121121
［2211］＝［211］［211］＝［11］［11］［11］［11］＝1111
です。
このとき、以下の問いに答えなさい。
（1）［2112］［2212］を求めなさい。
（2）［A］＝22となる整数Aは3つあります。このようなAをすべて求めなさい。
（3）［A］＝Aとなる整数Aは1つだけあります。このようなAを求めなさい。
（4）次の条件をともにみたす整数Aをすべて求めなさい。
・Aは6桁以下の整数です。
・［A］は292で割り切れる8桁の整数です。
【解説と解答】
(1)［2112］=［112］［112］=1212
［2212］=［212］［212］=［12］［12］［12］［12］=2222
（答え）［2112］=1212 ［2212］=2222
(2)
22 →［122］
22 → ［1］［1］→［21］
22 →［1］［1］→［11］［11］→［211］
(3)
A＝1Bだと ［A］＝Bとなるので1番大きな位は1ではない。
A＝2Bだと、 ［A］＝［B］［B］
B＝1Cとすると ［A］＝CC C＝21で成立する。
［2121］＝［121］［121］＝2121
（答え）2121
(4)292を何倍かしたときに1と2からしかできていない8桁の整数になるということです。
6桁から8桁になるので、同じ数が2回もしくは4回繰り返されていることになります。
この数は偶数になるので1の位は2
2桁の数が4回繰り返されると12121212 これは293で割り切れます。
次は4桁の数が2回繰り返される場合で1112、1122、1212、1222、2112、2122、2212、2222の繰り返しが考えられます。
11121112は292で割り切れます。
11221122は292で割り切れません。
12221222は292で割り切れません。
21122112は292で割り切れます。
21222122は292で割り切れません。
22122212は292で割り切れます。
22222222は292で割り切れません。
したがって、8桁の数は
12121212か11121112か21122112か22122212
12121212で４つの繰り返しだと［112］［112］［112］［112］→［2112］［2112］→22112
12121212で２つの繰り返しは、［11212］［11212］→211212
11121112で２つの繰り返しは［11112］［11112］→211112
21122112で２つの繰り返しは［12112］［12112］→212112
22122212で２つの繰り返しは［12212］［12212］→212212
以上から
（答え）22112、211212、211112、212112、212212
受験で子どもと普通に幸せになる方法、本日の記事は
スタートの成績はいろいろ
5年生の教室から
やれることはやってもらう
中学受験 算数オンライン塾
2月28日の問題
