「各校の入試問題から」カテゴリーアーカイブ

図形の問題

2011年四天王寺中学の問題

図のように、１辺の長さが15㎝の正方形の中に半径５㎝の４つの円があります。図のかげをつけた部分の面積は何㎝2ですか。
ただし円周率は3.14とします。

一目見て面倒だなあと思いますが、こういうのは組み合わせてみれば、案外シンプルになることが多いのです。基本的には合同な２種類の図形が４つずつ、合計８個塗られているので、簡単にすることができるだろうな、ぐらいの予想は立ててもよいかもしれません。

まずこうしてみると、

とこうなって

赤い線を引いてみれば、すっきしります。そうすると、もう少し動かせばさらに簡単になることがわかるので、

最終形はこうなって

５×５×４＋５×５×3.14÷２＝100＋39.25＝139.25㎝2が答えになります。

（答え）139.25㎝2

「映像教材、これでわかる比と図形」（田中貴）

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6月26日の問題
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力のつりあいの問題

2010年東邦大東邦の問題。

回転する円盤にひもがかかっており、力の向きを変えたり、小さな力で重いものを移動させたりできる装置を「滑車」と言います。もとの長さが30cmのばねアとばねイ、もとの長さが16cmのばねウがあります。ばねアとばねイは100gのおもりをつりさげると4cmのび、ばねウは100gのおもりをつりさげると5cmのびる性質を持ちます。これらについて、次の（1）～（5）の問いに答えなさい。ただし、ばねや滑車やひもの重さは考えないものとします。また、答えが小数の場合は、小数第2位を四捨五入して答えなさ
　い。
（1）図1は、おもりA、ばねア、滑車を組み合わせた装置において、つり合いがとれておもりAが静止した状態を示したものです。このとき、ばねアの長さは50cmでした。
おもりAの重さは何gですか。

（2）図2は、おもりA、ばねア、ばねイ、2個の滑車を組み合わせた装置において、つり合いがとれておもりAが静止した状態を示したものです。このとき、ばねアとばねイの長さはともに等しく40cmでした。次に、おもりAを200gの別のおもりにかえたところ、あらたなつり合いがとれて静止しました。このとき、ばねアの長さは何cmになりますか。

（3）大きい滑車と小さい滑車を一体にした装置を「輪軸」と言います。これを利用することで、おもりやばねに加わる力を大きく、または小さくすることができます。
いま、小さい滑車の半径が6cmの輪軸を用意し、その輪軸の大小それぞれの滑車上にひもを固定し、数回まきつけました。
図3は、ひもの一方におもりA、もう一方にばねアをとりつけた装置において、つり合いがとれておもりAが静止した状態を示したものです。このとき、ばねアの長さは60cmでした。大きい滑車の半径は何cmですか。

（4）図4は、ばねア、ばねウ、おもりB、滑車、（3）で用いた輪軸を組み合わせた装置において、つり合いがとれておもりβが静止した状態を示したものです。このとき、ばねウの長さは61cmでした。ばねアの長さは何cmになりますか。

（5）図4の装置で、おもりBを別のおもりCにかえたところ、あらたなつり合いがとれて静止しました。このとき、ばねアとばねウの長さが等しくなりました。おもりCの重さは何gですか。

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グラフを読み取る

太郎君と花子さんが家から駅まで歩きます。花子さんの家は太郎君が駅に向かう途中にあり、太郎君の家と花子さんの家は285m離れています。

太郎君と花子さんの歩く速さの比は7：5で、花子さんが家を出発し、遅れて太郎君が家を出発しましたが、太郎君が先に駅に着きました。

下の図は、太郎君と花子さんのへだたり（距離）と時間のようすをグラフに表したものです。このとき、次の各問いに答えなさい。

（1）花子さんの歩く速さは、毎分何mですか。

（2）太郎君の家から駅までの道のりは何mですか。

2011年明大明治の問題です。花子さんの家が駅に近く、しかも花子さんが先に出発しましたから、二人の間の距離は最初285ｍあったものが、広がって510ｍまでになりました。

この時点で、太郎君が出発します。

そして花子さんが出発して20分後に太郎君が花子さんを追い越したので、ここで二人の距離が０になります。

その後、太郎君と花子さんの距離は200mまで広がりますが、この時点で太郎君は駅に着きました。

再び二人の距離が０になったのは花子さんが駅についたときだということになります。

ということを読み取った上で、2人の速さを太郎君は【7】、花子さんは【5】とすると、最初は【5】の速さで差が広がり、その後【2】の速さで差がつまります。

最初に差が広がった距離は510ー285＝225ｍ
そのあと差がつまった距離は510ｍ
ですからその比は225：510＝45：102＝15：34
それを【5】と【2】で動くわけですから、かかる時間の比は
15/5:34/2＝3：17　これの合計がちょうど20分なので、太郎君が出発したのは花子さんが出発してから３分後とわかります。

そうすると225ｍを花子さんは3分でいくので花子さんの分速は
225÷3＝75m
です。

太郎君の速さは75×7/5＝105m

追いついてから200m離れるのに、200÷（105－75）＝20/3分かかります。

ということは太郎君は20－3+20/3=71/3分　家から駅までかかるので

105×71/3=2485m

が太郎君の家から駅までの距離になります。

（答え）（１）分速75ｍ　（２）2485ｍ

間の距離をグラフにする問題は良く出題されます。グラフが折れ曲がる点が一体何を示しているのか、問題文を読みながらしっかり定めていく練習をしていきましょう。