2013年、駒場東邦の問題です。

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ある競技では１人の選手の演技に対し、6人の審査員A、B、C、D、E、Fが1から10までの整数で10点満点で点数をつけます。その6つの点数のうち最も高い点と最も低い点を除いた4名分の点数の平均をその選手の得点とし、整数または小数で表します。
ただし、最高点や最低点が複数ある場合はその1名分の点数を除いて計算します。
例えばA5点、B8点、C6点、D9点、E2点、F8点の場合は9と2を除いた平均なので、（5＋8＋6＋8）÷4＝6.75よりこのときの得点は6.75点となります。

以下、6人の審査員の点数を順に並べて

のように表記することにします。

のときは1と4を一つずつ取り除いた平均なので
（1＋3＋4＋2）÷4＝2.5よりこのときの得点は2.5点となります。

のときは
（4＋7＋7＋6）÷4＝6よりこのときの得点は6点となります。

全員が同じ点数のとき、例えばのときは、
（7＋7＋7＋7）÷4＝7よりこのときの得点は7点となります。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）であるとき、得点を求めなさい。

（２）F以外の5人の点数がとわかった時、取り打る得点をすべて求めなさい。

（３）の得点が5点となるようなB、Cのつけた点数△、□のつけかたが何通りあるかを求めなさい。

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（解説と解答）
（１）最高が10点、最低が2点ですから、（3＋5＋7＋8）÷4＝23÷4＝5.75が得点になります。
（答え）5.75点

（２）Fの点数が7点以上であれば、（4＋5＋7＋7）÷4＝5.75点になります。
F=6点のとき、（4＋5＋6＋7）÷4＝22÷4＝5.5点
F=5点のとき、（4＋5＋5＋7）÷4＝21÷4＝5.25点
F=4点のとき、（4＋4＋5＋7）÷4＝20÷4＝5点
F=3点以下のとき、（3＋4＋5＋7）÷4＝19÷4＝4.75点
となります。
（答え）5.75、5.5、5.25、5、4.75

（３）得点が5点ですから、4つの合計は5×4＝20点です。
７が最大の数であるとすると、BとCと３のどれかが、除外されます。5×2＝10点は活かされるので、残りは10点。

Bが除外される場合は（B、C）＝（1、7）（2、7）（3、7）
3が除外される場合は（B、C）＝（4、6）（5、5）（6、4）
Cが除外される場合は（B、C）＝（7、3）（7、2）（7、1）の9通りです。

BかCのどちらかが8以上の数であれば、最大の数は7ではなくなります。
B、C以外の数の合計がちょうど7＋3＋5＋5＝20点になるので、もう一つの数は3以下でなければならないことがわかります。
したがってB＞Cであれば、
（B、C）＝（8、3）（8、2）（8、1）（9、3）（9、2）（9、1）（10、3）（10、2）（10、1）の9通りです。
B＜Cでも同じ9通りあるので、合計9×3＝27通り
（答え）27通り

やや面倒な問題ではありますが、整理をしていくことで調べることを絞り込んでいくことができるでしょう。

「映像教材、これでわかる場合の数」（田中貴）

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城北埼玉2013年の問題です。

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保健室にある消毒用のオキシドールは水に過酸化水素をとかした過酸化水素水です。このオキシドールを用いて、気体の発生の実験を行いました。次の各問いに答えなさい。

[実験] 気体を発生させるため、80gの三角フラスコに40gのオキシドールを入れたものを用意し、3gの黒い固体をいれたところ気体が発生した。気体の発生が終わった後、全体の重さをはかったところ、重さは122.2gであった。

問１　実験で用いた固体として適当なものを次のア～オの中から１つ選び記号で答えなさい。
ア　水酸化ナトリウム　イ　二酸化マンガン　ウ　石灰石　エ　重曹　オ　木炭

問２　実験で発生した気体の性質として、最も適当なものを次のア～エから１つ選び記号で答えなさい。
ア　マッチの火を近づけると、ポンと音を出して燃える。
イ　石灰水に吹き込むと、白くにごる。
ウ　煙の出ている線香を入れると、h野の緒を出して燃える。
エ　水で濡らした赤色リトマス紙を青く変える。

過酸化水素34ｇからは気体が16g発生し、水が18g生じます。発生した気体16gは体積に直すと11Lになります。

問３　実験で用いたオキシドールの濃度は何％ですか。

問４　気体の発生が終わった後三角フラスコに入っている水は何ｇですか。

発生した気体を使ってプロパンを燃やしてみました。プロパン1Lを燃やすには実験で発生した気体が5L必要です。またプロパン1Lを燃やすと24000cal（カロリー）の熱量が発生します。

問５　発生した気体で燃やすことのできるプロパンは何Lですか。

問６　発生した気体でプロパンを燃やしたときに出る練る量を用いて、ビーカーに入れた15℃、200gの水を熱したら何℃になりますか。ただし、水1gを1℃上げるのに必要な熱量は1calです。

（解説と解答）
問１　黒い固体は二酸化マンガンです。黒いものが二酸化マンガンと木炭だけですが、木炭は触媒になりません。
（答え）イ

問２　発生するのは酸素ですから、助燃性があります。
（答え）ウ

問３　過酸化水素水と二酸化マンガンでは二酸化マンガンは触媒で何も変化がありません。反応前の重さが80＋40＋3＝123g　反応後が122.2gですから、0.8gの酸素がこのオキシドール40gから出たことがわかります。で、過酸化水素34gからは酸素が16g、水が18g発生します。酸素が0.8gでしたから16÷0.8で20分の1ですから、過酸化水素は34÷20＝1.7g入っていたことになります。
したがって濃さは1.7÷40×100＝4.25％になります。
（答え）4.25％

問４　過酸化水素水からできる水は18÷20＝0.9gです。最初にあった水は40×（1－0.0425）＝38.3gですから、合計38.3＋0.9＝39.2ｇになります。
（答え）39.2ｇ

問５　発生した酸素が0.8gですから11÷20＝0.55Lになります。燃やすことのできるプロパン：酸素の体積比は1：5ですから、燃やすことのできるプロパンは0.55÷5＝0.11
（答え）0.11L

問６　0.11Lのプロパンを燃やして得る熱量は24000×0.11＝2640cal。200gの水ですから2640÷200＝13.2℃　温度が上昇します。
したがって15＋13.2＝28.2℃
（答え）28.2℃

「映像教材、これでわかる水溶液」（田中貴）

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2013年桐朋中学の問題です。

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図のように、２つの円が点Ａでつながっています。点Ｐは点Ａを出発し、Ｂ、Ｃ、Ａ、Ｄ、Ｅ、Ａ、Ｂ･･･の順に、２つの円周上を８の字をえがくように、毎秒１cmの速さで移動します。点Ｑは、点Ａを出発し、Ｄ、Ｅ、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ａ、Ｄ･･･の順に、２つの円周上を８の字をえがくように、毎秒0.9cmで移動します。

２点Ｐ、Ｑが点Ａを同時に出発したところ、点Ｐが初めて点Ａを通過してから21秒後に、点Ｑが初めて点Ａを通過しました。また点Ｐが２回目に点Ａを通過してから4秒後に、点Ｑが２回目に点Ａを通過しました。
次の各問いに答えなさい。
（１）２つの円の円周の長さの和は何cmですか。
（２）３点Ａ、Ｂ、Ｃを通る円の円周の長さは何cmですか。
（３）点Ｐが点Ｑに初めて追いつくのは、出発してから何秒後ですか。
（４）２点Ｐ、Ｑが初めて点Ａを同時に通過するのは、出発してから何秒後ですか。

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（解説と解答）
（１）点Ｐが２回目にＡを通過するのは２つの円周を移動したときです。そのあと4秒後に点Ｑが２回目にＡを通過するので、このときにＱも２つの円周の移動を終えます。
ということは速さの比が1：0.9＝10：9ですからかかる時間の比は9：10になり、その差の1が4秒ですから4×10＝40秒でＱは２つの円の円周の移動を終えます。
したがって２つの円の長さの和は0.9×40＝36cm
（答え）36cm

（２）Ａ、Ｂ、Ｃの円に点Ｐがかかる時間を【9】とすると、Ａ、Ｂ、Ｃの円に点Ｑがかかる時間は【10】になります。Ｑは２つの円を40秒で回るので、Ａ、Ｄ、Ｅの円を回るのには40－【10】かかります。
【9】＋21＝40－【10】より【19】＝19から【1】＝1秒。したがってＡＢＣの円をまわるのに、点Ｐは9秒かかりますから1×9＝9cmです。
（答え）9cm

（３）Ａ、Ｄ、Ｅの円は36－9＝27cm　QがAに最初にもどるときは27÷0.9＝30秒後ですから、そのとき、Ｐは1×30＝30cm移動しています。30－9＝21cmですでにＡ、Ｄ、Ｅの円を21㎝移動しているので、残りの距離は27－21＝6cm　6÷（1－0.9）＝60秒後
したがって追いつくのは30＋60＝90秒後
（答え）90秒後

（４）ＰがＡを通過するのは、9、36、45、72、81、108、117、144、153、180･･･　9秒後から27秒、9秒と繰り返していきます。
ＱがＡを通過するのは30、40、70、80、110、120、150、160、190．･･･30秒後から10秒、30秒と繰り返していきます。
ＱがＡを通過するのは1の位が0のときだけですから、Ｐが通過するとき、1の位が0となるのは180秒後。次は180×2＝360秒後、と180の倍数になります。
360÷40＝9よりＱも360秒後にはＡにいるので、したがって最初は360秒後になります。
（答え）360秒後

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