2013年桐朋中学の問題です。
図のように、２つの円が点Ａでつながっています。点Ｐは点Ａを出発し、Ｂ、Ｃ、Ａ、Ｄ、Ｅ、Ａ、Ｂ･･･の順に、２つの円周上を８の字をえがくように、毎秒１cmの速さで移動します。点Ｑは、点Ａを出発し、Ｄ、Ｅ、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ａ、Ｄ･･･の順に、２つの円周上を８の字をえがくように、毎秒0.9cmで移動します。
２点Ｐ、Ｑが点Ａを同時に出発したところ、点Ｐが初めて点Ａを通過してから21秒後に、点Ｑが初めて点Ａを通過しました。また点Ｐが２回目に点Ａを通過してから4秒後に、点Ｑが２回目に点Ａを通過しました。
次の各問いに答えなさい。
（１）２つの円の円周の長さの和は何cmですか。
（２）３点Ａ、Ｂ、Ｃを通る円の円周の長さは何cmですか。
（３）点Ｐが点Ｑに初めて追いつくのは、出発してから何秒後ですか。
（４）２点Ｐ、Ｑが初めて点Ａを同時に通過するのは、出発してから何秒後ですか。
（解説と解答）
（１）点Ｐが２回目にＡを通過するのは２つの円周を移動したときです。そのあと4秒後に点Ｑが２回目にＡを通過するので、このときにＱも２つの円周の移動を終えます。
ということは速さの比が1：0.9＝10：9ですからかかる時間の比は9：10になり、その差の1が4秒ですから4×10＝40秒でＱは２つの円の円周の移動を終えます。
したがって２つの円の長さの和は0.9×40＝36cm
（答え）36cm
（２）Ａ、Ｂ、Ｃの円に点Ｐがかかる時間を【9】とすると、Ａ、Ｂ、Ｃの円に点Ｑがかかる時間は【10】になります。Ｑは２つの円を40秒で回るので、Ａ、Ｄ、Ｅの円を回るのには40－【10】かかります。
【9】＋21＝40－【10】より【19】＝19から【1】＝1秒。したがってＡＢＣの円をまわるのに、点Ｐは9秒かかりますから1×9＝9cmです。
（答え）9cm
（３）Ａ、Ｄ、Ｅの円は36－9＝27cm QがAに最初にもどるときは27÷0.9＝30秒後ですから、そのとき、Ｐは1×30＝30cm移動しています。30－9＝21cmですでにＡ、Ｄ、Ｅの円を21㎝移動しているので、残りの距離は27－21＝6cm 6÷（1－0.9）＝60秒後
したがって追いつくのは30＋60＝90秒後
（答え）90秒後
（４）ＰがＡを通過するのは、9、36、45、72、81、108、117、144、153、180･･･ 9秒後から27秒、9秒と繰り返していきます。
ＱがＡを通過するのは30、40、70、80、110、120、150、160、190．･･･30秒後から10秒、30秒と繰り返していきます。
ＱがＡを通過するのは1の位が0のときだけですから、Ｐが通過するとき、1の位が0となるのは180秒後。次は180×2＝360秒後、と180の倍数になります。
360÷40＝9よりＱも360秒後にはＡにいるので、したがって最初は360秒後になります。
（答え）360秒後
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