2014年桜蔭中学の問題です。
2つのバネAとB、おもり、棒（軽い棒・重い棒の2種類）を使って実験(1)～(8)を行った。棒は2種類とも均一な材質でできており、実験(3)～(6)では軽い棒を、実験(7)、(8)では重い棒を使った。バネ自身の重さやおもりをつるす糸の重さは考えなくてよいものとして、下の問いに答えなさい。ただし、計算した結果が割りきれないときは、小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めなさい。
(1)バネAに、20gのおもりをつるすとバネの長さは9cmになり、60gのおもりをつるすとバネの長さは11cmになった。
(2)バネBに、30gのおもりをつるすとバネの長さは11cmになり、60gのおもりをつるすとバネの長さは12cmになった。
問1 おもりをつるしていないとき、バネA、バネBの長さはそれぞれ何cmですか。
(解説と解答)
Aは40g増えて2cmのびるので10gあたり、0.5cmのび、Bは30gで1cmのびています。
したがってAの自然長は9－0.5×2＝8㎝ Bの自然長は11－1＝10㎝
【答え】A 8㎝ B 10㎝
問2 バネBの長さが13.5cmになるのは、何gのおもりをつるしたときですか。
(解説と解答)
3.5cmのびるので30×3.5＝105gです。
【答え】105g
(3)長さが20cmの軽い棒（重さは考えなくてよい）の両はしに、バネAとバネBをつけ、棒の中央（バネAから10cmの位置）におもりaをつるすと棒は水平になった。
問3 バネの長さは何cmですか。また、おもりaは何gですか。
（解説と解答）
Aは10gあたり$$\frac{1}{2}$$cm、Bは10gあたり$$\frac{1}{3}$$cmです。
10gあたりAは$$\frac{1}{2}$$－$$\frac{1}{3}$$＝$$\frac{1}{6}$$cm縮めるので、
10－8＝2cmの差を縮めるには2÷$$\frac{1}{6}$$＝12より10×12＝120gが両方にかかるときですから、120×2＝240g
バネの長さは8＋0.5×12＝14cm
【答え】バネの長さ 14㎝ おもりの重さ 240g
(4)おもりもを使い、棒が水平になるように、おもりをつるす位置を調節したところ、バネの長さは13cmだった。
問4 おもりをつるした位置はバネAから何cmですか。また、おもりbは何gですか。
（解説と解答）
13cmになるのに、Aは5cmのびるから5÷0.5×10＝100g Bは3÷$$\frac{1}{3}$$×10＝90gかかっているから、100：90＝10：9より
Aからは20÷（10＋9）×9≒9.47･･･㎝→9.5cm おもりの重さは100＋90＝190g
【答え】
おもりの位置 Aから9.5㎝ おもりb 190g
(5)バネAから8cmの位置におもりCをつるすと、棒が水平になった。
(6)長さが20cmの軽い棒をもう1本用意し、その両はしに(5)のバネAとバネBをつけ、上の棒を糸でつるした。
問5 上の棒について述べたつぎの文のうち、正しいものをすべて選び、記号で答えなさい。
ア．棒の中央を糸でつるすと、棒はバネA側が下にかたむいた
イ．棒の中央を糸でつるすと、棒はバネB側が下にかたむいた
ウ．棒の中央を糸でつるすと、棒は水平になった
エ．バネAから8cmの位置を糸でつるすと、棒は水平になった
オ．バネAから8cmの位置を糸でつるすと、棒はバネB側が下にかたむいた
カ バネAから12cmの位置を糸でつるすと、棒は水平になった
キ．バネAから12cmの位置を糸でつるすと、棒はバネB側が下にかたむいた
ク．どの位置を糸でつるしても、棒は水平にならなかった
（解説と解答）
AにはCの$$\frac{3}{5}$$、BにはCの$$\frac{2}{5}$$がかかるので、Aの方が下に傾きます。
Aの方が重いので上の棒もAから8㎝のところでつるせば、水平になります。
（答え）ア、エ
(7)長さ20cmの重い棒の中央に、バネAをつけてつるすと棒は水平になった。このとき、バネの長さは20cmだった。
問6 バネAの代わりにバネBを使うと、バネBの長さは何cmになりますか。
20－8＝12㎝ 12÷$$\frac{1}{2}$$×10＝240gがぼうの重さです。
したがってBにすれば10＋24×$$\frac{1}{3}$$＝18cmになります。
【答え】18cm
(8)棒の両はしにバネAとバネBをつけ、200gのおもりをつるす位置を調節したところ、棒は水平になった。
問7 おもりをつるした位置はバネAから何cmですか。また、バネの長さは何cmですか。
（解説と解答）
棒の重さを考えると、Aに120g、Bに120gかかっているので、
Aは8＋$$\frac{1}{2}$$×12＝14㎝
Bは10＋$$\frac{1}{3}$$×12＝14㎝になっています。
あとはA：B＝2：3につるせばいいので、
200÷(2＋3)×2＝80gがAになるので、80÷10×$$\frac{1}{2}$$＝4cmのびるからバネの長さは14＋4＝18cm
バネの位置は20÷（2＋3）×3＝12㎝のところになります。
【答え】
Aから12cm バネの長さ18cm
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