「各校の入試問題から」カテゴリーアーカイブ

濃度の問題

2014年麻布中学の問題です。

A、B、C、Dの4つの容器があります。Aには濃さ12％の食塩水が80g、Bには濃さ4％の食塩水が160g、Cには濃さ5％の食塩水が40gそれぞれ入っています。
Dには何も入っていません。
A、B、Cの食塩水をそれぞれ20gずつ何回か取り出して混ぜ、Dの容器に濃さ6％の食塩水を作ります。できるだけたくさんの食塩水を作るにはそれぞれ何回ずつ取り出して混ぜれば良いですか。ただし、食塩水の濃さとは、食塩水の重さに対する食塩の重さの割合のことです。

1コ20gのおもりをぶらさげて下図のようなてんびんになるべく多くのおもりをぶら下げて釣り合わせれば良いということになります。

Aが4個のとき、4×6＝24ですから、Cを2個組み合わせると24－1×2＝22　22÷2＝11となりBが足りません。

Aが3個の時、3×6＝18　18－1×2＝16　16÷2＝8でこの場合はちょうど成り立ち、出来上がる食塩水は
20×（3＋2＋8）＝260gになります。

したがってこのときが一番多いので、A3回、B8回　C2回になります。

【答え】
A3回、B8回　C2回

6年算数頻出問題精選ノート（田中貴）

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水溶液に関する問題

2014年筑波大駒場中学の問題です。

3本の試験管A、B、Cには、うすい水酸化ナトリウム水よう液、食塩水、うすい塩酸のどれかが入っている。これを区別しようとして、次の実験1～3をおこなった。そのときの結果が下の表にまとめてある。

（実験1）　それぞれの試験管の水よう液をガラス棒を使って、青色と赤色のリトマス試験紙のそれぞれにつけて、色の変化を調べた。
（実験2）　それぞれの試験管に、小さく切った鉄（スチールウール）を入れて、あわが出るかどうか調べた。
（実験3）　それぞれの試験管に、小さく切ったアルミニウム（アルミニウムはく）を入れて、あわが出るかどうか調べた。

1．実験1の結果で空らんになっている(1)と(2)は、それぞれどのような結果になったと考えられますか。
　ア　赤色は変わらなかったが、青色は赤色に変わった。
　イ　青色も赤色も変わらなかった。
　ウ　青色は変わらなかったが、赤色は青色に変わった。
　エ　青色は赤色に、赤色は青色に変わった。

2．実験2と3の結果で空らんになっている(3)～(6）は、それぞれどのような結果になるか。○か×を入れなさい。

3．実験3が終わった後で試験管を見たら、すべての試験管にアルミニウムはくが残っていた。そこで、実験後の水よう液をスライドガラスに1てきとって温めてみた。どのような結果になると考えられますか。

　ア　すべての水よう液で固体が残る。
　イ　試験管AとBの水よう液で固体が残る。
　ウ　試験管BとCの水よう液で固体が残る。
　エ　試験管AとCの水よう液で固体が残る。
　オ　すべての水よう液で何も残らない。


基本的な問題でしょう。

１
実験1からAは食塩水とわかりますし、実験2からBが水酸化ナトリウム水溶液と決まるので、Cは塩酸となります。

したがって(1)はアルカリ性ですから赤が青、青は青ですので、ウ。
(2)は酸性ですから青が赤、赤は赤なのでア。

【答え】（1) ウ　(2) ア

２
実験２でスチールウールが溶けるのは塩酸だけなので、(3)は×　(4)は○
実験３でアルミニウムは水酸化ナトリウム水溶液、塩酸どちらも反応します。食塩水は反応しません。
(5)は×　(6)は○

【答え】　(3) × (4) ○ (5) × (6)　○

３
すべての実験でアルミはくが残っていたので、溶液はすべて完全に反応した、ということです。
食塩水は何も起きていませんが、あたためれば当然、食塩が残ります。
水酸化ナトリウムはアルミニウムを溶かすとアルミン酸ナトリウムが残るので、固体が残ります。
塩酸は塩化アルミニウムが残るので、これも固体が残ります。

【答え】　ア　

「映像教材、これでわかる水溶液」（田中貴）
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場合の数と規則性に関する問題

2014年駒場東邦の問題です。

毎月行われるパーティーでは、すべての参加者が他の参加者全員と1回ずつ握手をすることになっています。その握手の回数の合計を考えます。例えば参加者が3人のときは握手の回数の合計は3回、4人のときは6回になります。

（1）参加者が6人のときは握手の回数は合計何回になりますか。
（2）ある月の握手の回数の合計は308の倍数でした。この月の参加者は少なくとも何人でしたか。
（3）今月の参加者は先月の参加者の2倍でした。今月、先月の握手の回数の合計をそれぞれa回、b回とすると、aをbで割ったときの余りは12でした。
　　このとき、今月の参加者数とaの値をそれぞれ求めなさい。

(解説と解答）
（1）握手をする組み合わせを考えればいいので、2人の組み合わせ方と同じです。3人の中から2人を選ぶ組み合わせは3通り、4人の中から2人を選ぶ組み合わせは
4×3÷（2×1）＝6通りになります。

したがって6人の場合は6×5÷（2×1）＝15通りです。

【答え】15通り

（2）（1）からn人の場合はn×（n－1）÷2　となります。これが308の倍数になるということなので、308を素数分解してみると2×2×7×11ですから、差が1つの整数の積に7と11という素数が含まれてなければなりません。
11の倍数で考えると
11　22　33　44　55
7の倍数で考えると
14　21　28　35　42　56　で55と56が1違いです。
したがって56人であれば56×55÷2＝1540となり1540÷308＝5ですから、これが答えになります。

【答え】56人

（3）しばらく書き出してみましょう。

a÷bのあまりが先月の人数に一致していることがわかります。したがって、先月は12人、今月は24人です。
aの値は24×23÷12＝276になります。

【答え】24人　276

「映像教材、これでわかる場合の数」（田中貴）

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