数の性質の問題

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フェリス女学院の問題です。


次の(ア)~(オ)にあてはまる数をもとめなさい。
整数Aを7で割った余りを[A]で表します。例えば[17]=3、[4]=4 [21]=0です。[24]×[41]×[74]を7で割った余りと、Cはどちらも(ア)です。

[2×□]=2の□にあてはまる整数のうち、小さいものから順に20個を並べると、1番目の数は(イ)、2番目の数は(ウ)、・・・・、20番目の数は(エ)となります。

またこれらについて[(2×(イ))×(2×(ウ))×・・・・×(2×(エ))]=(オ)が成り立ちます。


【解説と解答】
[24]=3 [41]=6 [74]=4です。[24]×[41]×[74]=3×6×4=72より7で割った余りは2です。
また[24×41×74]=[72816』=2
したがって(ア)=2
[2×□]=2ですから、2×□が7で割ったとき2あまることになります。7で割って2余る数は小さい順に
2、9、16、23、30、37、44、51、58、65、72・・・・
でこのうち偶数を2で割り切れる数を2で割った商は
1、8、15、22、29、36と1から7ずつ増えていることがわかります。
したがって(イ)=1、(ウ)=8 20番目は1+7×19=1+133=134となります。

[(2×(イ))×(2×(ウ))×・・・・×(2×(エ))]=[2×1×2×8×2×15×2×22・・・×2×134] これは2を20回掛け合わせたものだから、[16×16×16×16×16]に等しくなるので、1048756÷7=149796・・・4より(オ)=4です。

(答え)
ア 2 イ 1 ウ 8 エ 134 オ 4

「映像教材、これでわかる数の問題」(田中貴)

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