数の性質に関する問題

2016年巣鴨中学の問題です。


10から99までの数字が1つずつ書かれた90枚のカードと、3つの豆電球A、B、Cがあります。太郎君は、カードを1枚引いて、次のルールにしたがってそれぞれの豆電球の点灯と消灯を切りかえます。
1 カードの数字が2の倍数のとき、豆電球Aを切りかえます。
2 カードの数字が3の倍数のとき、豆電球Bを切りかえます。
3 カードの数字の十の位の数が一の位の数より大きいとき、豆電球Cを切りかえます。
 たとえば、A、B、Cの豆電球がすべて消灯しているとき、12の数字のカードを引いたら、豆電球AとBは点灯し、Cは消灯したままです。そのあとに、21の数字のカードを引いたら、豆電球Aは点灯したままで、Bは消灯し、Cは点灯します。このとき、次の各問いに答えなさい。ただし、引いたカードは元にもどすものとします。
(1)最初に、A、B、Cの豆電球がすべて消灯しているとき、40の数字のカードを引きました。点灯している豆電球をすべて答えなさい。
(2)(1)のあと、1枚のカードを引いたら、3つとも点灯しました。考えられるカードは何枚ありますか。
(3)(2)のあと、1枚のカードを引いたら、1つだけ点灯したままでした。考えられるカードは何枚ありますか。


【解説と解答】
(1)40は1と3の条件に合っているので、AとCが点いています。
(答え)A、C

(2)3つとも点灯したので、2だけが加わったということだから、3の倍数ではあるが、2の倍数ではなく、十の位が一の位よりも大きくない。
15、21、27、33、39、45、51、57、63、69、75、81、87、93、99のうち該当するは15、27、33、39、45、57、69、99の8枚。
(答え)8枚

(3)3つの条件うち2つが変わったので、1と2で3ではない・・・ア、1と3で2ではない・・・イ、2と3で1ではない・・・ウを調べます。
6の倍数で、十の位の数の方が大きくない、12、18、24、36、48、66、78の7枚。
2の倍数で、3の倍数ではなく、十の位の数の方が大きい 10、20、32、40、50、52、62、64、70、74、76、80、82、86、92、94、98、17枚
3の倍数で、2の倍数ではなく、十の位の数の方が大きい 21、51、63、75、81、87、93 7枚
合計は7+17+7=31枚

(答え)31枚


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