2017年麻布中学の問題です。
2つの空の容器AとBに、1800gの水を分けて入れ、以下の操作を行って同じ濃さの砂糖水を作ります。ただし、砂糖水の渡さとは、砂糖水の重さに対する砂糖の重さの割合のことです。
【操作1】：Aに4gの角砂糖を1個、Bに3gの角砂糖を1個それぞれ入れて溶かす。
【操作2】：AとBの砂糖水の濃さを比べて、Aの方が濃いときはBに3gの角砂糖を1個入れて溶かし、Bの方が濃いときはAに4gの角砂糖を1個入れて溶かす。
まず【操作1】を行い、その後はAとBの砂糖水の濃さが同じになるまで【操作2】をくり返し行います。砂糖水の濃さが同じになったら操作を終えるものとして、以下の問いに答えなさい。
（1）Aに入れる水の重さを1200gにすると、AとBの砂糖水の濃さが同じになるまでに、AとBに角砂糖をそれぞれ何個入れることになりますか。【操作1】で入れるものも合わせて答えなさい。
（答え）Aに（ ）個、Bに（ ）個
（2）Aに入れる水の重さを（ ア ）g、Bに入れる水の重さを（ イ ）gにすると、【操作1】の後【操作2】がちょうど10回行われ、AとBの砂糖水の濃さが同じになります。ただし、【操作1】で入れるものも合わせて、Aには角砂糖が2個以上入り、Aに入れる角砂糖の個数よりBに入れる角砂糖の個数の方が多くなります。このとき、（ ア ）：（ イ ）をできるだけ簡単な整数の比で表しなさい。
（答え）（ ア ）：（ イ ）＝（ ）：（ ）
（3）Aに入れる水の重さを（ ウ ）g、Bに入れる水の重さを（ エ ）gにすると、【操作1】の後【操作2】が30回以上行われ、AとBの砂糖水の濃さがどちらも6.25％になります。このとき、（ ウ ）：（ エ ）をできるだけ簡単な整数の比で表しなさい。
（答え）（ ウ ）：（ エ ）＝（ ）：（ ）
【解説と解答】
(1)Aに1200gの水が入れば、Bには600gになります。
AとBに入る砂糖の量がA：B＝2：1になればいいので、以下の表のようになります。
（答え）A 3個 B 2個
(2)Aには8g以上の砂糖が入っています。個数は合わせて12個にならないといけないので、
（Aの個数、Bの個数）＝（2、10）（3、9）（4、8）（5、7）
（Aの砂糖の重さ、Bの砂糖の重さ）＝（8、30）（12、27）（16、24）（20、21）
になります。
このとき、砂糖の重さは互いに素でないと、10回に達する前に同じ比になってしまいます。
したがって条件に合う比は（20。21）だけなので、これが答えです。
（答え）20：21
(3)水の量は合わせて1800gです。濃さが6.25％ですから砂糖：水＝6.25：93.75＝1:15になるので、砂糖の重さは1800÷15＝120gです。
Aには4g、Bには3gずつ入っていくので、4×A＋3×B＝120とすると、A、Bの組み合わせはA、Bの0をのぞくと
（A、B）＝（27、4）（24、8）（21、12）（18、16）（15、20）（12、24）（9、28）（6、32）（3、36）
となり、互いに素になるのは
（27、4）（9、28）の２つですが、（27、4）は【操作2】の回数が30回を越えません。
したがって（36g、84g）となるのでウ；エ＝36：84＝3：7
（答え）3；7
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