「各校の入試問題から」カテゴリーアーカイブ

題意をグラフにする

2010年　洛星中学の問題

ある日、太郎は自転車で、次郎は歩いて家と学校を往復しました。ただし、学校に到着したらすぐに家に向かうものとします。
　次郎が家を出発してから10分45秒後に太郎が家を出発しました。次郎が家を出発してから14分20秒後に太郎が次郎を追い越しました。太郎が学校に到着してから4分15秒後に次郎が学校に到着しました。太郎が学校で折り返して、先ほど次郎を追い越した地点まで来た後は速さをそれまでの3分の１にして進みました。太郎が家に着いたとき、次郎は学校を折り返して、家から870mのところにいました。

（1）太郎が学校に着いたのは次郎が家を出発してから何分後ですか。
（2）家から学校までは何mですか。
（3）太郎のもとの速さと次郎の速さはそれぞれ毎分何mですか。

題意をグラフにすると、以下のようになるでしょう。
数字はすべて秒にしてありますが、その方が計算が速い問題のようです。

次郎が出発して645秒後に太郎が出発し、次郎が出発して860秒後に太郎が次郎を追い越しました。ということは追い越した点をAとすると、太郎は家からAまで860－645＝215秒、次郎は家からAまで860秒かかっていることがわかるので、ここで太郎と次郎の同じ距離を移動する時間の比が１：４であることがわかります。（215：860＝１：４）

そうすると、Aから学校までで二人がかかった時間の差の255秒は４－１＝３にあたるので１が85秒。グラフのXの値は85ということになります。したがって太郎が学校についたのは
860+85＝945秒後＝15分45秒＝15 3/4分。次郎が家を出発してから、という設問を確認して、これが（１）の答えです。

（１）（答え）15　3/4分

太郎がAに戻ってきたのはAを出発してから85秒×２＝170秒後です。そこで速さを3分の１にしたので、帰りは行きの３倍の時間がかかります。行きは家からAまで215秒かかりましたから、215×3＝645秒が図のYの値になります。
したがってZの値は860+170+645＝1675秒です。

次郎が学校についたのは、860+85+255＝1200　したがって学校を出てからZまでに1675－1200＝475秒戻ってきています。したがって870ｍを移動するのに次郎がかかる時間は1200－475＝725秒

家から学校までは870×1200/725＝870×48/29＝1440ｍ　ということになります。

（２）（答え）1440ｍ

ここまでくると、あとは簡単でしょう。
太郎は家から学校まで215秒＋85秒＝300秒かかっていますので、5分。
1440÷５＝288ｍ　
次郎はその4分の1ですから288÷４＝72m　ということになります。

（３）（答え）太郎　288m　次郎　72ｍ

速さの問題というのは、問題文が長く、条件がいろいろあるので、一度グラフに整理してみるとわかりやすく、「同じ時間を移動している場所」あるいは「同じ距離を移動している場所」を見つけやすくなります。

「映像教材、これでわかる比と速さ」（田中貴）

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電磁石の問題

2012年灘中学の問題

同じ直径のプラスチックの筒に、導線（エナメル線）を巻いて電磁石A、B、Cを作りました。
プラスチックの筒の直径、導線の種類は同じものとします。

　Aは、長さ10cmの筒に均一に導線が1000回巻かれています。
　Bは、長さ10cmの筒に均一に導線が2000回巻かれています。
　Cは、長さ20cmの筒に均一に導線が2000回巻かれています。

　電磁石の強さは　（筒の長さ1cmあたりの導線の巻かれた数）×（導線を流れる電流）

となるものとして、以下の問いに整数または分数で答えなさい。

　図1のように電磁石A、B、Cを電池につなぎました。

問1　電磁石Bの強さはAの何倍ですか。
　
問2　電磁石Cの強さはAの何倍ですか。
　
　図2のように電磁石A、Bを電池につなぎました。すると電磁石A、Bの強さは等しくなりました。

　
　これはA、Bの導線の長さが異なるので、そこを流れる電流も異なるためです。

問3　このとき、電磁石Bを流れる電流は、Aを流れる電流の何倍ですか。

　図3のように電磁石A、B、Cを電池につなぎました。

問4　電磁石Aの強さはCの何倍ですか。

問5　電磁石Bの強さはCの何倍ですか。

筒の長さ１㎝あたりの導線の巻かれた数で考えるとBはAの２倍になりますが、AとCは同じです。

問１　図１では同じ電流が流れますから、これは巻かれた数に比例するので、BはAの２倍になります。
（答え）２倍

問２　AとCは巻き数では同じです。
（答え）１倍

図２では並列になっていますが、AとBの電磁石の強さは同じになりました。巻き数はBはAの２倍ですから、同じになるためにはAはBの２倍、電流が流れていなければなりません。つまり抵抗で考えればAはBの半分の抵抗しかない、だから２倍の電流が流れるということになります。

したがって　問３の答えは2分の1になります。
（答え）1/2

図３ではAとCが並列です。AとCは同じ筒1㎝あたりの巻き数は同じですが、CはAの２倍の長さがあります。ということは導線の長さはBと同じで、Cの抵抗はAの抵抗の２倍になるので、流れる電流はAがCの２倍になります。巻き数は同じですから、Aの電磁石の強さはCの２倍になります。

（答え）２倍

問５
Aに流れる電流を【2】とするとCの電流は【1】です。図３で、Bに流れる電流はその和になりますから【3】。したがって、BはAに比べて、電流が３倍、巻き数が２倍ですから３×２＝６倍の強さになります。

（答え）６倍

「映像教材、これでわかる電気」（田中貴）

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立方体をくりぬく

2010年の神戸女学院の問題です。

図１

1辺1㎝の立方体を重ねて図のような１辺５㎝の立方体を作りました。
次に図の斜線をつけた部分を反対の面までまっすぐくりぬきます。
ただし、くりぬいても立体はくずれないものとします。

（１）くりぬいた後の立体の体積を求めなさい。

（２）くりぬいた後の立体の表面積を求めなさい。

問題の題意はシンプルです。しかし（２）が面倒だなあ、と思うでしょう。実際に面倒です。ていねいにやっていきましょう。

（１）ですが、上から順に１段目、２段目、と番号をつけてみます。
１段目は全部ありますね。
２段目は図２のようになります。
図２
３段目は
図３
４段目は
図４
５段目は全部あります。
したがってくりぬかれているのは２～４段まで、それぞれ５×２－１＝９個ですから、９×３＝27個なくなっているので、５×５×５－27＝98㎝3ということになります。