立方体をくりぬく

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2010年の神戸女学院の問題です。

図1

1辺1㎝の立方体を重ねて図のような1辺5㎝の立方体を作りました。
次に図の斜線をつけた部分を反対の面までまっすぐくりぬきます。
ただし、くりぬいても立体はくずれないものとします。

(1)くりぬいた後の立体の体積を求めなさい。

(2)くりぬいた後の立体の表面積を求めなさい。


問題の題意はシンプルです。しかし(2)が面倒だなあ、と思うでしょう。実際に面倒です。ていねいにやっていきましょう。

(1)ですが、上から順に1段目、2段目、と番号をつけてみます。
1段目は全部ありますね。
2段目は図2のようになります。
図2
3段目は
図3
4段目は
図4
5段目は全部あります。
したがってくりぬかれているのは2~4段まで、それぞれ5×2-1=9個ですから、9×3=27個なくなっているので、5×5×5-27=98㎝3ということになります。

(答え)98㎝3

と体積はまあ、そう面倒ではありませんが、表面積はちょっと面倒です。で、外側からまずやりましょう。
6面ある表面のうち、なにもくりぬかれていないのは2面。3つくりぬかれているのが4面ですから
5×5×2+(5×5-3)×4=50+88=138㎝2 が外に向いている表面積になります。

問題はトンネルの中ですが、各段でやっていきましょう。
2段目は下図のようになります。
数字は各立方体を内側から見たとき、残っている面の数を表します。
図5
気を付けないといけないのは3の部分。この段では3のところの底の面がありません。(下の段でくりぬかれてしまいます。)

同様に考えていくと
3段目は
図6
緑の部分は上があいていて、オレンジの部分は下があいているのでそれぞれ3面しか残っていないことに注意してください。

4段目は
図7

ということになります。
したがって
2段目は内側に4×6+3×2+2×1=24+6+2=32面。これは4段目も同じです。

3段目は内側に4×4+3×4+2×1=16+12+2=30面

したがって32×2+30=94面が内側にあることがわかります。

138+94=232㎝2

(答え)232㎝2

ということになります。

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