2007年聖光学院の問題

下の図のように、AB＝6cm、AD＝12cmの長方形ABCDがあります。
AM：MB＝2：1、DN：NC＝1：2で、点Pは辺AD上を動きます。PMの延長線とBCの延長線との交点をQ、PNの延長線とBCの延長線との交点をRとします。このとき、次の問いに答えなさい。

（1）　三角形PQRがPQ＝PRの二等辺三角形となるとき、APの長さを求めなさい。
（2）　BQ＝CRのとき、APの長さを求めなさい。
（3）　三角形PQRの面積が90cm2のとき、五角形PMBCNの面積を求めなさい。

図１

（１）
Pから垂線を下ろし、BCとの交点をOとします。
角QPO＝角OPRより角APM＝DPNより三角形AMPと三角形PDNは相似。その比は
AM：DN＝2：1よりAP：PD＝2：1
だからAP＝12÷（1＋2）×2＝8cm
（答え）8cm

（２）
図２
BQ＝CR＝【2】とすると
三角形MQBと三角形AMPは1：2の相似の三角形なのでAP＝【4】
三角形NCRと三角形PDNは2：1の相似の三角形なのでPD＝【1】
したがって合計【5】が12cmになるので、12÷5×4＝9.6cm
（答え）9.6cm

（３）
図３
90×2÷6＝30cmがQRの長さになります。
図から
【3】＋(3)＝30㎝・・・（ア）
【2】＋(1)＝12㎝・・・（イ）

（イ）×3－(ア）
【6】＋（3）＝36cm　【3】＋(3)＝30㎝より　【3】＝6cm　【1】＝2cm
12－2×2＝8㎝・・・(1)
AM＝6÷3×2＝4㎝　DN＝6÷3＝2㎝より
12×6－4×4÷2－8×2÷2＝72－8-8＝56
（答え）56cm2

「映像教材、これでわかる比と図形」（田中貴）

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2011年灘中学の問題です。

海面の一点で爆発が起こり、その衝撃が海面と海水中を毎秒1500mの速さで、あらゆる方向にまっすぐ伝わっていくものとします。また、海底に達した衝撃は、そこから毎秒4800mの速さで海底の岩石の表面を伝わっていくものとします。海の深さは、どこも同じで1500mであるとします。

下図のように、二辺の長さが5と15の直角三角形のななめの辺の長さは16であるものとして、問いに答えなさい。

問1　爆発の起きた点のま下の海底の点Aから500mはなれた海底の点Bに(1)海中を直接伝わる衝撃　(2)海中を伝わりAに達した後、岩石表面を伝わってきた衝撃の両方が伝わってきました。(1)と(2)のどちらが早く伝わってきますか。

問2　AからBの向きに、Aから4500mはなれた海底の点Cに、(1)海中を直接伝わる衝撃　(2)海中を伝わりAに達した後、岩石表面を伝わってきた衝撃　(3)海中を伝わりBに達した後、岩石表面を伝わってきた衝撃　がそれぞれ伝わってきました。(1)～(3)を早く伝わってくるものから順に書きなさい。

　このように、Bよりも遠い海底の点には、海中を伝わりBに達した後、岩石表面を伝わってきた衝撃がいちばん早く到達するものとします。

また、海底の岩石の表面に衝撃が伝わってくると、その場所から海水中のあらゆる方向にさらに衝撃がひろがっていくものとして考えます。

問3　次の点で最も早く衝撃が観測されるのは、爆発が起こってから何秒後ですか。それぞれ分数で答えなさい。
　①Bのま上の海面　　　(2)Cのま上の海面

問4　海面のある点て、爆発の起きた点からの距離(横軸)と、爆発が起きてからその点で最も早く衝撃が観測されるまでの時間(縦軸)の関係を表すグラフのおよその形として適切なものはどれですか。次のア～エから選び、記号で答えなさい。

問１
（１）は1600÷1500＝16/15秒＝256/240秒
（２）は1500÷1500＋500÷4800＝53/48秒＝265/240秒
なので（１）の方が9/240秒早いことになります。

問２
（１）は4500÷15×16＝4800mを動くので
4800÷1500＝16/5秒＝768/240秒後
（２）は1500÷1500＋4500÷4800＝31/16秒＝465/240秒
（３）は16/15秒＋4000÷4800＝16/15＋5/6＝57/30秒後＝456/240秒後
より（３）→（２）→（１）の順になります。

問３　
（１）Bの真上ですから、海面上を進むのが一番早いので
500÷1500＝1/3秒後

（２）問１の（１）から爆発の起きた点からBに水中を進む方がAを経由してBに着くよりも早いので、Cの手前500ｍから水中を進むのが一番早くなります。

したがって1600÷1500×2＋（4500－500×2）÷4800＝32/15＋35/48
＝512/240＋175/240＝687/240＝229/80＝２　69/80秒後が一番早くなります。

問４　ある距離以上になると、一度海底面にまっすぐ降りて、その後海底面を伝わった方が早くなるので、とこかでグラフが傾き、その後最初の傾きよりも時間が短くなるのでアになります。

理科の問題というよりは、算数の問題という感じもしますが、問３の（１）はうっかり間違いそうです。問題を読んでいると、海底に進むことばかりに気をとられてしまいますから、気を付けてください。

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