2013年　ラサール中学の問題です。

図のような直方体があります。点Mは辺AEのまん中の点です。この直方体をまず3点A、C、Fを通る平面で切り、切ってできる2つの立体のうち、点Bを含む方を取り除きます。次に、残った立体を点Mを通り、底面EFGHに平行な平面で切ります。このとき、次の問いに答えなさい。ただし、角すいの体積は底面積×高さ÷3です。

（1）点Eを含む方の立体の体積を求めなさい。
（2）点Dを含む立体について
【1】辺の数と面の数はそれぞれいくつですか。
【2】体積はいくらですか。

（１）切断面を考えると下の図のようになります。

このときEを含む立体は10cm、6cm、4cmの直方体から三角すいを引けばよいことになります。
PR=3cm、RQ=5㎝、RF＝4㎝ですから
3×5÷2×4÷3＝10㎝3になるので、
10×6×4－10＝230cm3
（答え）230cm3

（２）
【1】上の立体は辺が13本あり、面が７つあります。

（答え）辺　13　面７

【2】体積は10cm、6cm、4cmの直方体から三角すい台を引きます。

三角すい台は10×6÷2×8÷3－3×5÷2×4÷3＝70cm3になるので、
10×6×4－70＝170cm3

（答え）170cm3

「映像教材、これでわかる比と図形」（田中貴）

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2012年豊島岡中の問題です。

以下の問いに答えなさい。ただし、割り切れない場合は小数第2位を四捨五入して小数第1位まで答えること。

　塩酸と水酸化ナトリウム水溶液の中和について調べる実験をしました。
【実験1】:水酸化ナトリウム80gを水に溶かしてちょうど500mLの水溶液をつくりました。
【実験2】:【実験1】の水溶液を50mLずつビーカーにとり、それぞれのビーカーに事前に用意した塩酸を、体積を変えて加え、よく混ぜ合わせました。
【実験3】:【実験2】のそれぞれを熱して水分を蒸発させました。蒸発させた後、残った固体の重さを調べました。これをまとめると、次の表のようになりました。

（1）①の重さを答えなさい。

（2）水酸化ナトリウム水溶液50mLを完全中和（過不足なく反応）するのに必要な塩酸は何mLですか。

（3）水酸化ナトリウム水溶液50mLに塩酸100mLを加えてよく混ぜた溶液を完全中和するのに,水酸化ナトリウムの固体をさらに何g加えればよいですか。

（4）水酸化ナトリウム水溶液50mLに、塩酸54mLを加えてよく混ぜた後、水を蒸発させると何gの固体が残りますか。

（5）（4）で答えた固体の中で、塩化ナトリウムは何gですか。

（1）水酸化ナトリウム水溶液を固定して、塩酸を加えています。表から塩酸を50ｍLいれてもまだ中和はしていません。塩酸が20ｍLから50mLへ、30mL増えるのに固体が10.5－9＝1.5g増えていますから、0から20mLの間は
1.5÷3×2＝1.0ｇ増えているので、①は9－1＝8gになります。
（答え）8g

（２）80mL加えたとき、中和になっていなければ10.5＋1.5＝12.0ｇ　になっていたはずですから、80mLの前で中和したことになります。
12.0－11.6＝0.4　11.6ー10.5＝1.1gより
30mLの11/15の22mL加わった時に中和したので、50＋22＝72ｍL
（答え）72ｍL

（３）水酸化ナトリウム水溶液：塩酸＝50：72が中和の比になります。
水酸化ナトリウム50mLに塩酸100mLを加えると、塩酸100－72＝28mLが余りますから、これに相当する水酸化ナトリウム水溶液は
50×28/72≒19.4mLです。500mLにつき80ｇでしたから
80×19.4/500≒3.1g
（答え）3.1g

（４）
72－54＝18　54－0＝5４より54：18＝3：1から下図のようになります。

したがって、塩化ナトリウムは11.6×3/4＝8.7g　水酸化ナトリウムは8×1/4＝2gですから、固体は8.7＋2＝10.7gです。

（答え）10.7g
（５）
（答え）8.7g

「映像教材、これでわかる水溶液」（田中貴）

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2013年　灘中学の問題です。

展開図が図のような立体の体積は（　　　　　）㎝3です。

ただし、四角形の面は正方形で、三角形の面のうち4個は正三角形、残り4個は直角二等辺三角形です。

問題を目にしたとき、この空間図形をイメージできるというのは、なかなかすごいなあ、と感じます。

問題はシンプルだし、イメージができれば、計算もやさしいのですが、しかし、よくできている問題です。

ということで6cm、6cm、3cmの直方体から3cm、3cm、3cmの三角すいを４つ引けばよいので

6×6×3－3×3÷2×3÷3×4＝108－18＝90cm3

というのが正解なのですが。

せっかく作図したので、PDFにしました。

展開図

A4で印刷すると、図面になりますから、切り取って組み立ててみてください。

こういう作業をしてみると、なるほどなあ、と思えます。

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