「各校の入試問題から」カテゴリーアーカイブ

速さの問題

2012年雙葉中学の問題です。

太郎と次郎がAを出発してFに向かいます。AからBまでとDからFまでの距離の比は7：8です。CからEはロープウェイで、その速さは分速380mです。ロープウェイを使ってFまで行くと、C－E－Fの距離の合計は10.68kmです。

（1）太郎は午前8時にAを出発し、ロープウェイには乗らずにすべて歩いて午後2時45分にFに着きました。途中、Bで10分、Cで40分、Dで5分休けいをとりました。太郎の速さは平地は分速66m、上りは分速42m、下りは分速126mです。Bに着いたのは何時何分ですか。

（2）次郎は午前9時にAを出発し、Bまでは太郎と同じ速さで歩きました。Bでは休まずに分速30mでCまで上り、Cではロープウェイが発車するまで45分休みました。ロープウェイに乗ってEに着き、分速88mで歩いたら、太郎と同時にFに着きました。ロープウェイに乗っていたのは何分間ですか。また、EからFまでは何kmですか。

(解説と解答）
（１）BからCまで分速42ｍでいくと、4200÷42＝100分です。
また3.15kmを分速126ｍでいくと、3150÷126＝25分です。
行程は14時45分－8時＝6時間45分で、休憩時間の合計は10＋40＋5＝55分ですから、平地を歩いた時間は
405分－55分－100分－25分＝225分です。
AB：DF＝７：8ですから225÷（7＋8）×7＝105分がA～Bにかかった時間なので、
8時＋105分＝9時45分にBに着いたことになります。
（答え）9時45分

（２）
次郎はAを9時に出発していますから、Bを10時45分に出て、4200ｍ÷30ｍ＝140分＝2時間20分なので、10時45分＋2時間20分＝13時5分にCに着きました。そこで45分休憩したので、ロープウェイが出発したのは13時50分です。
14時45分にFに到着するためには、14時45分－13時50分＝55分で行くことになります。
D－E－Fの距離は10680ｍです。全部分速88ｍで行くと88×55＝4840ｍですから10680－4840＝5840ｍ不足します。
したがって5840÷（380－88）＝5840÷292＝20分がロープウェイの時間です。
次郎君は55分－20分＝35分歩くことになりますから、88×35＝3080ｍがEからFまでになります。

（答え）20分　3080ｍ

「映像教材、これでわかる比と速さ」（田中貴）

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力のつりあいの問題

2013年女子学院の問題です。

材質の異なる2種類の棒と、重さの無視できる軽い糸、50gの重さのおもりをいくつか用いて実験を行った。次の問いに答えなさい。

1　はじめに、太さも材質も一様な重さが無視できるくらい軽い40cmの棒の中央に糸をつけ、天井からつるした。

図のように、棒の左端におもりを3個、右端に1個、糸でつるしたところ、棒は傾いてしまった。次のアまたはイのことをすると棒は水平になった。（　　　　）に入る適当な数字を答えなさい。
　ア　糸の位置を中央から左に（　　　　）cm移動させる。
　イ　棒の中央から右へ10cmのところに糸でおもりを（ ）個加える。

（解説）
ア　おもりが３：１の重さですから長さを左から１：３にすればいいので
40÷（1＋3）×1＝10cmのところに持って来ればいいから20－10＝10cm移動させます。
（答え）10cm

イ　おもりが１つ50gですから、左端の回転力は50×3×20＝3000
右端の回転力は50×1×20＝1000
右側（時計回り）の回転力が3000－1000＝2000不足しているので
2000÷10＝200g足りませんから200÷50＝4個つるせばよいことになります。
（答え）4個

2　次に、太さも材質も一様な40cmの重い鉄の棒Aを図1のように、中央にばねはかりをつけ、支えたところ、棒Aは水平を保ち、ばねはかりは200gを示した。


　　
また、図2のように、棒Aの左端から10cmのところに糸で天井につけ、棒Aの左端におもりを糸で4個つるしたところ、棒Aは水平を保つことができた。

（1）同じ鉄の棒Aを使って、次のア～エのようにした。棒Aが水平になるものに〇、水平にならないものに×を書きなさい。

（解説）
ぼうの中心には棒の重さ200gがかかっています。

ア　支点は左から10cm。反時計回りの回転力は50×2×10＝1000
時計回りの回転力は200×10＋50×20＝3000ですから、つりあいません。

イ　支点は左から10cm。反時計回りの回転力は50×4×10＋50×2×5＝2000＋500＝2500
時計回りの回転力は200×10＋50×15＝2750ですから、これもつりあいません。

ウ　支点は左から10cm。反時計回りの回転力は50×5×10＝2500
時計回りの回転力は200×10＋50×10＝2500で、これはつりあいます。

エ　支点は左から10cm。反時計回りの回転力は50×5×10＋50×3×5＝2500＋750＝3250
時計回りの回転力は200×10＋50×25＝2000＋1250＝3250でこれもつりあいます。

（答え）
ア　×　イ　×　ウ　○　エ　○

（2）図のア、イのように、棒Aをばねはかりと糸で水平に支えた。それぞればねはかりは何gを指しているか答えなさい。

ア　ぼうの重さは200gです。支点は中心にあるので、ぼうの重さは無視できますから、反時計回りが50×2×10＝1000
したがってばねばかりは1000÷20＝50ｇ

（答え）50g

イ　支点が左から15㎝です。ぼうの重さは中心ですから、時計周りに200×5＝1000
ばねばかりの位置は支点から40－15－5＝20cmですから、1000÷20＝50g

（答え）50g

（3）図のように鉄の棒Aに糸でおもりをつるし、2つのばねはかりア、イで棒Aが水平になるように支えた。ばねはかりはそれぞれ何gを指しているか答えなさい。

イを支点にして考えると、時計回りの回転力は50×2×10＝1000ですから1000÷10＝100gがア。
全体の重さは200g＋50×2＝300gですから300－100＝200ｇがイ

（答え）ア　100g　イ　200g

（4）鉄の棒Aを図3のように、支えPの上に置き、左端に糸でおもりを2個つるし、ばねはかりで棒Aを水平になるように支えた。

①　このとき、ばねはかりは何gを指しているか答えなさい。

（解説）
Pを支点にしたとき、反時計回りは50×2×10＝1000　反時計回りは200×10＝2000
その差2000－1000＝1000がばねばかりですから1000÷10＝100g

（答え）100g

次に、ばねはかりを取り外し、図4のように、支えP、Qで鉄の棒Aを水平にした。

②　このとき、P、Qが支えている力はそれぞれおもり何個分か、答えなさい。

（解説）
Pを支点にして反時計回りは50×2×10＝1000　時計回りは200×10＝2000ですから、その差1000を
Qが上向きに支えることになるので1000÷10＝100ｇ分ですから、おもり2個。

全体は200＋50×2＝300gですから300－100＝200gがPなので200÷50＝4個がP。

（答え）P　4個　Q　2個

この状態から右端に重さの無視できる軽い皿を取り付け、皿に鉄粉を入れていった。

③　入れる鉄粉が何gをこえると、棒Aは水平を保てなくなるか、答えなさい。

皿に鉄粉を入れて傾くときは支点がQになります。
Qが支点になるとぼうの重さは関係がないので、（支点からの距離が０）50×2×20＝皿×20となりますから、100gを超えると右側に傾きます。

（答え）100g


「映像教材、これでわかる力のつりあい」（田中貴）

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点の移動の問題

2013年浦和明の星の問題です。

図のような、ABの長さが20cm、ADの長さが30cm、BCの長さが20cmで、ABが　ADとBCに垂直な台形ABCDがあります。点P、QはそれぞれD、Cを同時に出発し、点Pは辺DA上を、点Qは辺CB上を何回か往復します。2点はともに毎秒2cmの速さで動き、点PがDに、点QがCに同時に来たときに止まります。

（１）2点P、Qが止まるのは、出発して何秒後ですか。

　次に、4点A、B、Q、Pで囲まれる図形の面積について考えます。
　　ここで、4点A、B、Q、Pで囲まれる図形とは、点Pがちょうど頂点Aに来たときには三角形ABQを、点Qがちょうど頂点Bに来たときには三角形ABPを、それ以外のときは四角形ABQPのことを言うこととします。
（２）点が出発して10秒後から15秒後までの間は、この図形の面積は2点が動いても変わりません。そのときの面積を求めなさい。
（３）（２）のように、2点P、Qが動いてもこの図形の面積が変わらない時間が他に2回あります。それは出発して何秒後から何秒後までですか。2回とも答えなさい。

(解説と解答）
（１）AD間は30cmですから点PはDAを一往復するのに30×2÷2＝30秒かかります。
BC間は20cmですから点QはCBを一往復するのに20×2÷2＝20秒かかります。
したがってPQが止まるのは30秒と20秒の最小公倍数である60秒後になります。

（答え）60秒後

（２）10秒後にQがBにつき、折り返すのでPがAに到着するまで四角形PABQの面積は変わりません。
したがって10秒後にPは2×10＝20cm進みますからAP＝30－20＝10cm
10×20÷2＝100cm2

（答え）100cm2

（３）PとQの動きを1直線上に重ねてグラフにすると以下の通りになります。

PとQは同じ速さですから、PとQが反対方向に向かっているときに面積が変わらないので、グラフの赤い矢印の部分になります。

したがって20秒～40秒後と45秒～50秒後の２回です。

（答え）20秒～40秒後と45秒～50秒後

グラフを書いてしまうと、すぐに答えが見つかるでしょう。

「映像教材、これでわかる比と速さ」（田中貴）

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