2015年開成中学の問題です。
下図のようなランニングコースがあります。A地点とD地点の間の道は平らで長さは200m、B地点とC地点の間の道も平らで長さは100m、A地点からB地点へ向かう道は上り坂で長さは120m、D地点からC地点へ向かう道も上り坂で長さは180mです。
ゆう君はA地点を、まさひろ君はD地点を同時に出発して、ゆう君はA→B→C→D→A→B→･･･の向きに、まさひろ君はD→C→B→A→D→C→･･･の向きに走ります。二人とも平らな道を毎分100mの速さで走ります。ゆう君はA地点からB地点までの上り坂を毎分84mで、C地点からD地点までの下り坂を毎分105mで走り、まさひろ君はD地点からC地点までの上り坂を毎分90mで、B地点からA地点までの下り坂を毎分126mで走ります。
次の問いに答えなさい。
（1）ゆう君、まさひろ君がこのコースを一周するのにかかる時間はそれぞれ何分ですか。
（2）ゆう君、まさひろ君はB地点とC地点の間ではじめてすれ違います。その地点はB地点から何mの場所ですか。
（3）ゆう君、まさひろ君がB地点とC地点の問で次にすれ違うのは、（2）で求めた場所からどちらへ何mずれた場所ですか。
（4）ゆう君、まさひろ君がはじめてÅ地点とB地点の間ですれ違うのは、走りはじめてから何回目にすれ違うときですか。またその地点はB地点から何mの場所ですか。
【解説と解答】
(1)ゆう君はABが上りなので120÷84＝$$\frac{10}{7}$$ CDの下りは180÷105＝$$\frac{12}{7}$$ 合計$$\frac{22}{7}$$
（200＋100）÷100＝3分だから1周は6 $$\frac{1}{7}$$分。
まさひろ君はABが下りなので120÷126＝$$\frac{20}{21}$$ CDが上りなので180÷90＝2分 合計2 $$\frac{20}{21}$$。
それに3分を加えるので1周5 $$\frac{20}{21}$$分
（答え）ゆう君 6 $$\frac{1}{7}$$分 まさひろ君 5 $$\frac{20}{21}$$分
(2)ゆう君がBに来るのは$$\frac{10}{7}$$ まさひろ君がCにくるのは2分後。したがって2分後にはゆう君は
2－$$\frac{10}{7}$$＝$$\frac{4}{7}$$分進んでいるので、Bから100×$$\frac{4}{7}$$＝$$\frac{400}{7}$$mのところにいます。
二人の間の距離は 100－$$\frac{400}{7}$$＝$$\frac{300}{7}$$ mになっているから、その半分のところで出会うので
$$\frac{400}{7}$$＋$$\frac{150}{7}$$＝$$\frac{550}{7}$$＝78 $$\frac{4}{7}$$mのところです。
（答え）78 $$\frac{4}{7}$$m
(3)まさひろ君は1周に5 $$\frac{20}{21}$$分かかるので、次にCにくるのは、$$\frac{20}{21}$$＋2＝7 $$\frac{20}{21}$$分
ゆう君が次にBにくるのは 6 $$\frac{1}{7}$$分＋$$\frac{10}{7}$$＝7 $$\frac{4}{7}$$なので、まさひろ君がCを出発するとき、ゆう君はすでに$$\frac{8}{21}$$分進んでいます。
100－100×$$\frac{8}{21}$$＝$$\frac{1300}{21}$$ したがって、その場所はBから
$$\frac{800}{21}$$＋$$\frac{650}{21}$$＝$$\frac{1450}{21}$$＝69 $$\frac{1}{21}$$mのところになるので
78 $$\frac{4}{7}$$ － 69 $$\frac{1}{21}$$＝9 $$\frac{11}{21}$$
（答え）Bへ＝9 $$\frac{11}{21}$$mずれたところ
(4)１周につき9 $$\frac{11}{21}$$＝$$\frac{200}{21}$$mずれるので
78 $$\frac{4}{7}$$÷$$\frac{200}{21}$$＝$$\frac{550}{7}$$÷$$\frac{200}{21}$$＝$$\frac{33}{4}$$
8回ずれるということはBC間で9回出会うことになります。
９周した後、まさひろ君がBにいるのは5 $$\frac{20}{21}$$分×9＋2分＋1分＝56 $$\frac{4}{7}$$分
56 $$\frac{4}{7}$$÷6 $$\frac{1}{7}$$＝$$\frac{396}{7}$$÷$$\frac{43}{7}$$＝9・・・$$\frac{9}{7}$$
したがってゆう君はAから$$\frac{9}{7}$$分移動しているので84×$$\frac{9}{7}$$＝108m 120－108＝12mが二人の間の距離です。
ここでまさひろ君とゆう君の速さの比は126：84
12×（126＋84）×126＝7.2m
二人は1周すると2回出会うので、2×9＋1＝19回目になります。
（答え）7.2m 19回
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