数の性質に関する問題

2017年 早稲田中学に関する問題です。


各位の数字がすべて異なる3けたの9の倍数について,次の問いに答えなさい。
(1) 数字の9が入っているものは何通りできますか。
(2)各位の数の和が 18 であるものは何通りできますか。
(3)各位の数の和が9であるものは何通りできますか。
(4)数字の2が入っているものをすべて足したとき,その和はいくつですか。


3桁で9の倍数ですから、3つの数字の和が9の倍数なので、9か18か27になります。各位の数字が異なります。
(1)9以外の数を(A、B)とすると和が9の場合は該当がなく、和が18の場合は(1.8)(2,7)(3,6)(4,5)和が27の場合も該当がないので、
ぞれぞれ並べ方が6通りあるから、6×4=24通り
(答え)24
(2)和が18であるもので、9がないものについて考えます。
8が入ると残りの合計は10ですから(3,7)(4,6)
7が入ると残りの合計は11ですから重複を避けると(5,6)
以上になるので、18通り加わるから24+18=42通り
(答え)42

(3)和が9の場合、最大の数は8です。
8が入ると (0,1)→4通り
7が入ると (0.2)→4通り
6が入ると、(0,3)(1,2)→4+5=10通り
5が入ると (0.4)(1.3)→10通り
4が入ると (3,2)→6通り
(答え)34通り

(4)
2が入る場合は(2,3,4)(1,2,6)(0,2,7)(2,7,9)
234+243+324+342+423+432=(2+3+4)×2×(111)=1998
(1,2,6)は同じで、(2,7,9)は18×2×111=3996
残り(0,2,7)は
207+270+702+720=477+1422=1899
1998×2+3996+1899=9891
(答え)9891


「映像教材、これでわかる数の問題」(田中貴)


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