力のつりあいに関する問題

2021年雙葉中学校の問題です。

ふたばさんは，日曜日にスープを作ることにしました。水を入れた鍋に，にんじん，じゃがいも，玉ねぎを切って入れたところ，浮くものと浮かないものがあることに気づきました。野菜によってどんなちがいがあるのか不思議に思ったふたばさんは，次の日に理科の先生に聞いてみることにしました。

先生：液体中のものを持ち上げる浮力というカが，ものを沈ませる下向きの重力というカより大きいとき，ものは浮くのです。
ふたばさん：浮力の大きさは野菜によってちがうのですか。
先生：浮力の大きさは，液体の種類と液体に浸かっている部分の体積の大きさで決まります。液体に浸かっている部分の体積と同じ体積の液体の重さと等しいのです。おもりをばねばかりにつるすと，おもりの重さがばねばかりに示されます（図1）。
これを液体中に入れると言液体に浸かっている体積が増えていくにつれて（図2，図3），浮力の大きさは大きくなります。おもりの重さはばねばかりと浮力によって支えられているので，ばねばかりに示される重さは小さくなっていきます。

ふたばさん：つまり浮力の大きさは野菜の種類にはよらず，液体に浸かっている部分の体積によるのですね。水に浮くか浮かないかは，浮力の大きさと野菜の重さの大小を比べれば良いのですね。
先生：そうです。そして，浮力の大きさを液体の重さから求めるということは，液体の種類によっても異なりますね。例えば，水の場合は1cm3の体積のとき1gですが，食塩水を使った場合はどうなるか考えてみましょう。

問1
100cm3，105gのおもりがビーカー中の500cm3の水に図3のように完全に浸かっているとき，ばねばかりは何gを示しますか。ただし，糸の体積は無視でき，おもりはビーカーに触れていないものとします。

　このおもりをばねばかりからはずすと沈みました。水に食塩を完全にとかしながら少しずっ入れていくと，あるときおもりが浮き始めました。

問2　
食塩の量が何gをこえると，浮き始めますか。ただし，食塩水の体積は食塩をとかす前の水の体積と変わらないものとします。

　さらに食塩をビーカーに加え，問2で入れた分もあわせて合計125g入れると食塩は全てとけて，おもりの一部が水面より上に来ました。

問3　水面より上の部分はおもり全体の何％ですか。

　てんびんに30cm3，60gの同じおもリA，Bを，Aは支点から10cm，Bは支点から15cmの位置につるしまLた（図4）。一方をビーカーに入った食塩水の中に，もう一方を水にどちらも完全に浸けたところ，てんぴんはつりあいました。ただし，糸の体積は無視でき，おもりはビーカーに触れていないものとします。

問4　食塩水に沈めたのはおもリA，Bのどちらですか。

問5　ビーカー内の食塩水の濃度は何％ですか。

【解説と解答】
問１
受ける浮力は100gですから105－100＝5
（答え）5
問２
105g、100cm3ですから、比重が105÷100＝1.05になれば良いことになります。
500×1.05＝525gですから、25gの食塩を溶かせば良いことになります。
（答え）25
問３
比重は625÷500＝1.25になるので、105g÷1.25＝84cm3が水中にあればよいことになるので、水面上には16cm3、すなわち16％が上がっています。
（答え）16
問４　Aの方が支点に近いので、Bの方が軽くならなければなりません。
（答え）B
問５
Aは30gの浮力を受けますから、てんびんの回転力は30×10＝300
300÷15＝20gですから、Bは40cm3の浮力を受けなければなりません。
したがって30cm3押しのけた重さが40gになるので、30gの水に10gの食塩が入っていることになります。したがって濃度は10÷40×100＝25
（答え）25％