2014年筑波大駒場の問題です。
大きな水槽に、濃度12％の食塩水が1kg入っています。この水槽に、水と濃度12％の食塩水を交互に入れていきます。
１回目：水を入れて水槽の食塩水の濃度を、水を入れ始める前の$$\frac{4}{5}$$倍の濃度にうすめます。
うすまったら、濃度12％の食塩水を加えて、水槽の食塩水を2kgにします。
２回目：水を入れて水槽の食塩水の濃度を、水を入れ始める前の$$\frac{4}{5}$$倍の濃度にうすめます。
うすまったら、濃度12％の食塩水を加えて、水槽の食塩水を3kgにします。
以下、同様に水と食塩水を交互に入れて、水槽の食塩水を1kgずつ増やしていきます。
そしてうすめるために一度に入れる水が初めて1kgになったとき、その後は、食塩水を水を交互に1kgずつ入れ続けます。次の問いに答えなさい。
（１）水槽の食塩水が2kgになったとき、濃度は何％ですか。
（２）うすめるために一度に入れる水が初めてちょうど1kgになったときを考えます。その1kgの水を入れて、水槽の食塩水は何kgになりましたか。
（３）水槽の食塩水の濃度が最も低くなるとき、その濃度は何％ですか。
【解説と解答】
（１）$$\frac{4}{5}$$倍にうすめる、ということは前の量の$$\frac{1}{4}$$倍の水の量をいれることです。
最初1kgでしたから250gの水を入れ、12×$$\frac{4}{5}$$＝9.6％の食塩水が1250gできました。
それに12％の食塩水750gを加えて2kgにするので、1250：750＝5：3になるから、下の図のてんびんを考えると
12－9.6＝2.4％を3：5に分けて2.4÷（3＋5）×3＝0.9％、9.6％から増えるので9.6＋0.9＝10.5％になります。
（答え）10.5％
（２）うすめるための水が1kgであるためには、前の食塩水が1×4＝4kgになっていました。
したがって入れた後の食塩水の量は4＋1＝5kgです。
（答え）5kg
（３）うすめるために一度に入れる水が初めて1kgになった後は水を1kg、12％の食塩水を1kg入れるので、結局6％の食塩水を2kg入れていくのと同じになります。
全体が2kgになったとき、濃さは10.5％でした。次は500gの水を入れて8.4％にするので、これに500gの12％食塩水を混ぜることになります。したがって下のてんびんからできた食塩水は9％です。
全体が3kgになったとき、濃さは9％でした。次は750gの水を入れて7.2％にするので、これに250gの12％食塩水をまぜることになります。したがって下のてんびんから食塩水は7.5％です。
全体が4kgになったとき、濃さは7.5％でした。次は1000gの水を入れて6％にするので、一度ここで6％になります。したがってこの後は6％の食塩水を入れるのと同じになるので、最低は6％になります。
（答え）6％
《別解》
最初に12％の食塩水が1kgありました。足した水はその$$\frac{1}{4}$$で250g。足した食塩水は750gです。
次に2kgになったとき、足した水は500g、足した食塩水は500gです。
次に3kgになったとき、足した水は750g 足した食塩水は250gです。
次に4kgになったとき、足した水は1000gでした。
ということはここで12％の食塩水と水の量が同じになるので6％になります。
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