各校の入試問題から」カテゴリーアーカイブ

中和の問題

2011年サレジオ中学の理科の問題です。

水溶液の計算問題としては、典型的な問題だと思います。


下の表は、60㎝3のうすい塩酸(A液とする)に、いろいろな体積のうすい水酸化ナトリウム水溶液(B液とする)を加え、それぞれの液を加熱した後に残った固体の重さをはかったものです。なお、オの液にBTB液を加えたところ、緑色になりました。下の(1)~(5)に答えなさい。
ただし、計算結果を答える際、割り算が必要な場合は、分数ではなく小数で答えなさい。また、割り切れない場合のみ、小数第2位を四捨五入して小数第1位まで答えなさい。

(1)表の①に適切な数値を入れなさい。

(2)(ア)~(カ)の中で、加熱して水を蒸発させたとき、ただ1種類の固体だけが残るものをすべて選び、(ア)~(カ)の記号で答えなさい。

(3)うすい塩酸(A液)60㎝3にうすい水酸化ナトリウム水溶液(B液)70㎝3を加えた液を、加熱した後に残った固体の重さは何gですか。

(4)うすい塩酸(A液)を、さらに水でうすめた塩酸(C液とする)を用意しました。うすい水酸化ナトリウム水溶液(B液)40㎝3を、水でうすめた塩酸(C液)で中和したところ120㎝3必要でした。水でうすめた塩酸(C液)はもとのうすい塩酸(A液)を水で何倍にうすめましたか。

(5)(ア)~(カ)と同じ液をもう一組用意して、それぞれの液にアルミニウムはくを入れたところ、1つだけ気体が発生しないものがありました。(ア)~(カ)の記号で答えなさい。また、発生した気体の性質として正しいものを、下の(い)~(と)からすべて選び、(い)~(と)の記号で答えなさい。

(い) 石灰水を白くにごらせる。
(ろ) 生物が呼吸によって吸収する。
(は) 空気より非常に軽い。
(に) 金属と結びついてさびをつくる。
(ほ) 水にとけて酸性を示す。
(へ) つんとするニオイがある。
(と) よく燃える。


この問題は塩酸を固定して、水酸化ナトリウム水溶液を増やしていきます。ということは、途中で塩酸がなくなると、食塩ができなくなり、あとは水酸化ナトリウムが固体で残ることになります。

(1)水酸化ナトリウム水溶液が入っていないので、塩酸だけですから固体は残らないので0が答えになります。

(2)表から食塩は10㎝3ごとに4.8g増えていきます。50㎝B液を入れたときは24gの固体ですので、ここまではずっと食塩です。問題文から(オ)で中和したので、この問題ではA:B=60:50が中和のポイントになります。

したがって1種類の固体が残るものは、(イ)(ウ)(エ)(オ)の4つになります。

(3)(オ)から(カ)は水酸化ナトリウム水溶液だけが増えているので、27.3-24=3.3gの増加がすべて水酸化ナトリウムになります。したがってA液60㎝3にB液70㎝3をまぜれば27.3+3.3=30.6gになります。

(4)A:B=6:5で中和しますので、B40㎝3に必要なA液は40×6/5=48㎝3です。これがC液120㎝3と同じですから、120÷48=2.5倍うすめたことになります。

(5)アルミ箔は塩酸でも水酸化ナトリウム水溶液でも水素を発生しますが、食塩水は発生しません。したがって中和の(オ)だけが水素が出なかったことになります。

水素の性質ですから、(は)と(と)になります。


中和の問題としては、問題文で(オ)で中和していることがわかっているので、やさしい問題ではなかったかと思います。中和の問題は塩酸を固定するか、水酸化ナトリウム水溶液を固定するか、どちらかのパターンですから、グラフの形をしっかり理解しておきましょう。

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反射の問題

2011年大阪星光の問題です。

図のように1辺の長さが10㎝の正方形ABCDの頂点Bから発射した玉が、正方形の辺上の点、P、Q、R、S、T、U、・・・・で反射して、正方形の4つの頂点のいずれかに当たった時に止まるものとします。AR=4㎝のとき

(1)BUの長さは(    )㎝です。

(2)斜線部の面積は(    )㎝2です。

(3)玉は頂点(    )で止まります。


ボールを打ち出して、反射させる。繰り返し反射して、頂点に来たらボールが止まる。

このような問題は最近増えてきました。

いくつか考え方があるのですが、斜めの動きをたてとよこの動きに分解してみましょう。

玉がBを出発してRまで動くとき、横だけで見るとB→Pで10㎝、P→Qで10㎝ Q→Rで4㎝ 合計24㎝動いています。

この間に縦だけでは10㎝動くことになりますから、この斜めの線は合計するとたてに10㎝、横に24㎝動いているので、QA:AR=10:24=5:12になります。

(1)Bから出発した玉はUにつくまでにたてに20㎝動いていますから 20×12/5=48㎝ 横に動きます。

48÷10=4・・・8㎝ですから横に2往復したあと8㎝動くので、BU=8㎝になります。

(2)

図のようにTSとQPの交点をVとします。TSとBPは平行ですからTB=SP=8×5/12=10/3

QBは横に20㎝動いたたての長さですから20×5/12=25/3  QT=25/3ー10/3=15/3よりTV:VS=3:2

なので、斜線部は平行四辺形TBPSの3/5になりますから

10/3×10×3/5=20㎝2になります。

(3)12と10の最小公倍数は60なので、横に60㎝動くと縦には25㎝ 横に120㎝動けば、縦は50㎝になります。

ともに10の倍数動けばよいので、横に120㎝、縦は50㎝で頂点に来ます。横は120÷10=12回動き、たては50÷10=5回動きます。

たては奇数回動くと、AかDにきて、横が偶数回動くとAかBに来るので、答えはAになります。

反射の問題は、相似の三角形がたくさんできていきますが、この斜辺の動きをたての動きとよこの動きに分解することによって、解法が見つかることが多いので、この着想は覚えておくと役に立つでしょう。

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つるかめ算?

2012年浦和明の星の問題です。


星子さんはフライパンで、大きいハンバーグと小さいハンバーグをたくさん焼くことになりました。
 1つのフライパンで、大きいハンバーグは1回で2枚まで焼くことができ、小さいハンバーグは1回で5枚まで焼くことができます。したがって、大きいハンバーグを100枚焼くには50回小さいハンバーグを100枚焼くには20回焼かなければなりません。このフライパンで大きいハンバーグを1枚だけ焼くときには、いっしょに小さいハンバーグを3枚まで焼くことができます。星子さんは、このことを利用してフライパンで焼く回数をできるだけ少なくしたいと思いました。

(1)大きいハンバーグを100枚と小さいハンバーグを何枚か焼きます。焼く回数を51回とするとき、小さいハンバーグはもっとも多くて何枚まで焼くことができますか。また、焼く回数を52回とするとき、小さいハンバーグはもっとも多くて何枚まで焼くことができますか。

(2)大きいハンバーグを100枚と小さいハンバーグを100枚焼くとき、もっとも少なくて何回で焼くことができますか。
 また、このとき、大きいハンバーグ2枚を焼いた回数をA回、小さいハンバーグだけを焼いた回数をB回、大きいハンバーグ1枚と小さいハンバーグを焼いた回数をC回とすると、A、B、Cの数の組は何通りか考えられます。A、B、Cの数の組の1つを答えなさい。


(解説と解答)
(1) 大きいハンバーグは1回について2枚しか焼けません。だから50回で100枚。で49回98枚にすれば51回だとあと2回焼けますから、その2回を大きなハンバーグ1枚、小さなハンバーグ3枚にすると小さなハンバーグは6枚焼けることになります。
とすれば52回の場合は48回2枚ずつ焼いて、残りの4回は大1枚 小3枚にすればいいので、3×4=12枚、小さいハンバーグを焼くことができます。

(2)これで考えると100÷3=33回で1枚余ってしまいます。したがってC=34回とするとB=0回 A=33回で合計67回になります。AとBだけでは70回ですから、この考え方では一番小さくなります。

Cをなるべく使った方が全体の回数が少なくなるのは明らかです。そうなると、それ以外の組み合わせはないか、ということになります。

小だけで考えると3と5ですから、15が最小公倍数なので、これで入れ替えてみましょう。

やはりA=35回 B=2回 C=30回の合計67回が最小ということになります。

ではB=1回にしてみたら? 小を95枚焼かなければいけないのでC=32回 A=34回 これも合計が67回ということになるので、最小は67回、考えられる組み合わせは

(A、B、C)=(33、0、34)(34、1、32)(35、2、30)のいずれかということになります。

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