2014年麻布中学の問題です。

1番から9999番までの9999枚のカードを考えます。それぞれのカードには、番号の下にかっこがあり、その中に2つの数が下図のように書かれています。

この2つのうち、左の数はカードの番号を99で割った余り、右の数はカードの番号を101で割った余りです。ただし、割り切れるときは0と書かれています、最初の方のカードは下図のようになります。

（1）番号が101番、102番、103番、202番、203番、204番のカードの、かっこの中の数をそれぞれ書きなさい。

（2）番号の下に（51、41）と書かれているカードが1枚あります。それは何番のカードですか。

　次に1番から999900番までの999900枚の別のカードを考えます。それぞれのカードには、番号の下にかっこがあり、その中に3つの数が下図のように書かれています。

この3つのうち、左の数はカードの番号を99で割った余り、真ん中の数はカードの番号を100で割った余り、右の数はカードの番号を101で割った余りです。ただし、割り切れるときは0と書かれています。

（3）かっこの中の左の数が51、右の数が41であるカードの番号を小さいものから順に3つ書きなさい。

（4）番号の下に（37、15、1）と書かれているカードが1枚あります。それは何番のカードですか。

【解説と解答】
（1)
101÷99＝1･･･2　101÷101＝1　　102÷99＝1…3　102÷101＝1･･･1　　103÷99＝1･･･4　103÷101＝1･･･2
202÷99＝2･･･4　202÷101＝2　　203÷99＝2…5　203÷101＝2･･･1　　204÷99＝2･･･6　204÷101＝2･･･2
【答え】
101→2、0　102→3、1　103→4、2
202→4、0　202→5、1　204→6、2

（2）（1）の答えを見てみると左の数字と右の数字の差は最初の101～103は2、202～204は4と共通になります。
左の数字は0から98まで増えて、右の数字は0から100まで増えるのでその間は差は一定です。
51と41ですから差は10になるので、101から202になるとき99のあまりは2増えていますから10÷2＝5　101×5＝505について考えると
505÷99＝5･･･10　505÷101＝5･･･0より差が10です。
506÷99＝5･･･11　506÷101＝5･･･1で同じく差が10ですから、
99×5＋51＝495＋51＝546　546÷101＝5･･･51で、これが答えになります。
【答え】
546

（3）（2）からまず、546が一番小さな数です。
99と101の最小公倍数は9999です。
9999は左の数が0、右の数も0になります。これは0といっしょです。
10100は左の数が2、右の数が0、10101は左の数が3、右の数が1で差が2になりました。
（1）で101が（2、0）でした。次が10100ですから、9999を加えていけばよいことがわかります。
546の次はしたがって10545となり、その次は20544となります。
【答え】546、10545、10544

（4）37と1ですから、差が36です。101から202になるとき99のあまりは2増えていますから36÷2＝18　18×101＝1818となり
1818÷99＝18･･･36　1818÷101＝18ですから差は36になっています。
したがって最初の数は1818＋1＝1819になります。（1819÷99＝18･･･37　1819÷101＝18･･･1）
1819÷100＝18･･･19ですからこれは答えではありません。
次は9999加えればいいので、
1819＋9999＝11818　11818÷100＝118･･･18
ここで1小さくなったので、最初から4少なくなればいいから、9999を4回加えれば良いことになります。
9999を10で割ると9あまるので、9999を1つ加えるごとに10で割る余りが1ずつ減るわけです。
1819＋9999×4＝1819＋39996＝41815
【答え】41815

「映像教材、これでわかる数の問題」（田中貴）

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2014年武蔵中学の問題です。

図のように、半径1cmの円の周を6等分する位置に1から6までの番号がついています。Aを7以上100以下の整数とします。Aの6位かの約数の位置に点を打ちます。3つ以上点が打たれたときは、これらを順に結んで多角形を作ります。例えば、A＝7、A＝8、A＝9、A＝12のときは図1のようになります。

図１

次の問いに答えなさい。

（１）図2となるようなAはありません。その理由を答えなさい。
図２

（２）図3となるようなAをすべて求めなさい。
図３

（３）打たれた点が1つだけとなるAのうち、素数でないものをすべて求めなさい。

（４）できた多角形の面積が、1辺の長さ1cmの正三角形の面積の3倍に等しくなるようなAをすべて求めなさい。

（１）図２では約数の中に1、2、3、5が入っています。しかし2と3が約数になれば、6も約数でなければなりませんが、これは6が約数になっていないので、このような図形はありません。

【答え】2と3が約数であれば、6も必ず約数になるから。

（２）1、2、4、5が約数で、3は約数ではありません。
一番小さい数は20です。7以上100以下の整数で20の倍数は、20、40、60、80、100ですが、60は当てはまりません。
【答え】20、40、80、100

（３）7以上の素数は1以外に点が付きません。ということは7以上の素数の積でできた数は素数ではなく、また1以外には点がつかないことになります。
7以上の素数は7、11、13･･･となりますが、積が100以下でなければならないので、
7×7、7×11、7×13の3つになります。
【答え】49、77、91

（４）１は必ず通ります。五角形以上になると、正三角形の3倍以上になるので、四角形か三角形になります。
1辺が1cmの正三角形の3倍の図形は以下の通りになります。

このうちイは2と3があれば6も入らなければならないので不適。
ウは6が入っていて3が入らないことはないので不適。
オは4が入っていて2が入らないことはないので不適。

結局ア、エ、ということになります。

アは15の倍数になり、偶数ではないので、15、45、75
エは6の倍数で、4、5の倍数ではないので、18、42、54、66、78

【答え】15、18、42、45、54、66、75、78

「映像教材、これでわかる数の問題」（田中貴）

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