2014年　白百合学園の問題です。

図のように、辺ADとBCを平行とした台形を底面とする四角柱の容器があります。辺BC上に、辺AIと辺BCが垂直となるように点Iをとり、辺BIの長さは1cm、辺CIの長さは3cm、辺ADの長さは5cm、辺BEの長さは35cmとします。

いま、この容器の底面に垂直に、2つの仕切り板を入れることにしました。1枚はAとIを通るように、もう1枚はDとIを通るように入れることで、3つの容器に分けています。

ここで、辺ABを含む容器をア、辺ADを含む容器をイ、辺CDを含む容器をウとし、3つの容器に同じ量だけ水を入れました。仕切り板の厚さは考えないものとします。

（1）容器ア、イ、ウに同じ量だけ水が入っているとき、容器イだけの水面の高さを測ったら6cmでした。この状態から容器イとウの間の仕切り板だけを外したときの容器イ・ウの水面の高さは何cmになりますか。

（2）（1）のように、容器イとウの間の仕切り板が外された状態から、さらに容器アとイの間の仕切り板も外したとき、この四角柱の水面の高さは何cmになりますか。

（3）（2）のように、仕切り板がすべて外された状態から、さらにこの容器の中に、半径2cm、高さ20cmの円柱を垂直に下まで入れたとき、水面の高さは何cmになりますか。ただし、AIの長さは8cm、円周率は$$\frac{22}{7}$$とします。

【解説と解答】
（１）底面を見るとこのようになっています。

このとき、ア、イ、ウはすべてＡＩを高さとしているので、面積比はア：イ：ウ＝1：5：3です。底面積をア、イ、ウそれぞれ【1】、【5】、【3】とするとイの高さが6cmならば、容積は【30】になるので、アも【30】、ウも【30】です。で、イとウの容積は【60】になり、しきりをはずすと面積は8になるのだから、
【60】÷8＝7.5cmになります。

（答え）7.5cm

（２）今度は容積が【90】になり、底面積が【9】ですから、【90】÷【9】＝10cmです。

（答え）10cm

（３）AIの長さが8cmになるので、台形ABCDの面積は36cm2になります。
水の容積は36×10＝360cm3
一方円柱の底面積は2×2×$$\frac{22}{7}$$＝$$\frac{88}{7}$$
36－$$\frac{88}{7}$$＝$$\frac{164}{7}$$
360÷$$\frac{164}{7}$$＝$$\frac{2520}{164}$$＝$$\frac{630}{41}$$＝15$$\frac{15}{41}$$＜20cmなので、円柱はすべて水没しないことで間違いありません。

（答え）15$$\frac{15}{41}$$cm

「映像教材、これでわかる比と図形」（田中貴）

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2014年晃華学園第2回の問題です。

ビーカーに細かくくだいた氷を入れて加熱すると、やがて氷はとけて水になりました。下のグラフは、ガスバーナーを使用して、一定の強さで加熱をした時間と温度との関係を表したものです。次の各問いに答えなさい。

問1　ビーカー内の水の温度が70℃になるのは、加熱を始めてから何分後か、答えなさい。

問2　グラフから読み取れることとして正しいものを、次の（ア）～（エ）の中から選び、記号で答えなさい。ただし、答えが複数ある場合は、すべて答えなさい。
（ア）氷の方が水よりもあたたまりやすい。
（イ）水の方が氷よりもあたたまりやすい。
（ウ）氷と水ではあたたまりやすさは同じである。
（エ）加熱をしても、温度が変わらないことがある。

問3　ある重さの氷の温度を1℃だけ上げるために必要な熱は、同じ重さの水の温度を1℃だけ上げるために必要な熱の何倍か、グラフから求めなさい。

問4　ある重さの0℃の氷をすべて0℃の水にするために必要な熱は、同じ重さの水の温度を1℃だけ上げるために必要な熱の何倍か、グラフから求めなさい。

問5　鉄の温度を1℃だけ変化させるために必要な熱は、同じ重さの水の温度を1℃だけ変化させるために必要な熱の$$\frac{1}{10}$$である。20℃の水100gの中に、80℃の鉄200gを入れ、しばらくすると水と鉄の温度が等しくなった。このときの温度は何℃か、答えなさい。

問6　10℃の水と、60℃の水を別々のビーカーに1Lずつ入れて、それぞれの重さをはかると、どのようになるか。次の（ア）～（ウ）の中から選び、記号で答えなさい。ただし、2つのビーカーの重さは同じである。
（ア）10℃の水の方が、60℃の水よりも軽い。
（イ）10℃の水の方が、60℃の水よりも重い。
（ウ）10℃の水と60℃の水は、同じ重さである。

【解説と解答】
問1
42－27＝15分で、50℃上がっています。　70℃まではその70÷50＝1.4倍になるので、15×1.4＝21分
27＋21＝48分後になります。
（答え）48分後

問2
氷は3分で20℃　水は3分に直すと10℃上がっています。したがって氷の方があたたまりやすくなります。
氷から水に完全になるまでは0℃のままですからエも正しくなります。
（答え）ア、エ

問3
問2から10÷20＝0.5倍
（答え）0.5倍

問4　
3分から27分までの24分間あたためて氷が完全に水になりました。このとき、24分間あたためるとこの水は24÷3×10＝80℃
になりますから、80倍になります。
（答え）80倍

問5
鉄は同じ熱で水の10倍あたたまることになるので、鉄200gは水20gと同じになります。
したがって持っている熱量は20×100＋80×20＝3600になるので、全体が120gの水と同じですから
3600÷（100＋20）＝30℃
（答え）30℃

問6
体積で比べているので、60℃の水の方が体積はぼうちょうしている分、重さは少なくなります。
したがって重さで比べると10℃の水の方が重くなります。

（答え）イ

「映像教材、これでわかる水溶液」（田中貴）

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2014年豊島岡第2回の問題です。

ある遊園地の小学生、中学生、高校生の1人あたりの入場料はそれぞれ、中学生が小学生の1.6倍で、高校生は中学生より120円高くなっています。
また高校生の1人あたりの入場料は、小学生、中学生、高校生の1人あたりの入場料の平均より140円高くなっています。

次の問いに答えなさい。
（１）小学生の1人あたりの入場料はいくらですか。

（２）小学生、中学生、高校生の入場者は合わせて30人でした。小学生と中学生の入場者は同じで、その合計は高校生の入場者数より多くなりました。小学生と中学生の入場料の合計が、高校生の入場料の合計より少なかったとき、考えられる高校生の入場者数をすべて求めなさい。

【解説と解答】
（１）
小学生の入場料を【5】とすると、中学生は【8】、高校生は【8】＋120　になりますから、平均は（【21】＋120）÷3＝【7】＋40

したがって【8】＋120＝【7】＋40＋140より【1】＝60

小学生の入場料は60×5＝300円です。

（答え)300円

（２）
小学生の入場料が300円、中学生が480円、高校生が600円になります。
小学生の人数が【1】だったとき、高校生の人数は30－【2】
小学生と中学生の人数の和が高校生の人数よりも多いので、小学生は8人以上になります。
小学生8人、中学生8人だと高校生は14人　入場料は小中学生が780×8＝6240円　高校生は600×14＝8400円　なので条件に当てはまります。
小学生9人、中学生9人だと高校生は12人　入場料は小中学生が780×9＝7020円　高校生は600×12＝7200円　これも条件に当てはまります。
小学生10人、中学生10人だと高校生は10人　入場料は小中学生が780×10＝7800円　高校生は600×10＝6000円でこれから先は条件に当てはまりません。

したがって考えられる高校生の数は12人と14人になります。

（答え）12人、14人

「映像教材、これでわかる数の問題」（田中貴）

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