2015年筑波大駒場の問題です。

辺BCの長さが20cmで、辺ADと辺BCが平行である台形ABCDがあります。
　図1のように、辺BC上に2点P、Qがあり、直線APと直線DQが交わる点をRとします。

　また、BP、QCの長さをともに8cmとすると、三角形ABPと三角形PQRの面積が等しくなります。
　次の問いに答えなさい。
　なお、4点B、P、Q、Cはこの順にならんでいて、PQの長さはADの長さより短いものとします。
（l）辺ADの長さは何cmですか。
（2）図2と図3の台形ABCDは、図1の台形ABCDと同じ台形です。

（ア）図2のように、BPの長さを8cm、QCの長さを10cmにしました。三角形PQRの面積は、（1）のときの面積の何倍になりますか。
（イ）図3のように、QCの長さを10cmにして、BPの長さをある長さにしたとき、三角形ABPと三角形PQRの面積が等しくなりました。このとき、BPの長さは何cmですか。

【解説と解答】
（１）BP=8cm　QC＝8cmのときPQ＝4cm　底辺の比が2：1ですから、三角形ABPと三角形PQRの面積が2倍になるためには、AP：PR＝1：2になるので、AD=4÷2×3＝6cmになります。
（答え）6cm

（２）
（ア）PQ＝2cmですから、AP：PR＝2：1です。
底辺が半分になり、高さは4分の1ですから、面積は8分の1です。
（答え）8分の1

（イ）
三角形ABPと三角形PQRの面積が等しいので、台形ABQDと三角形ARDの面積が等しいことになります。
台形の面積を【26】とすると、三角形QDCはQC＝10cmより【10】
したがって、【16】が三角形ARDの面積になるから、ADは6cmより高さは、
16÷6＝$$\frac{8}{3}$$倍になるので、
AP：PR＝3：5
よって、BP：PQ＝5：3
10÷（5＋3）×5＝6.25cmになります。
（答え）6.25cm

「映像教材、これでわかる比と図形」（田中貴）

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2015年フェリス女学院の問題です。

直径12cmのとつレンズを、太陽光線が直角に入るように固定し、レンズを通った光が白い紙に当たる様子をしらべました。レンズと紙の距離が8cmのとき、光が1点に集まりました。図1は、太陽光のうちレンズのふちを通った光の道筋をあらわしたものです。
　また紙は図1のように太陽光線に対して直角になるように置きます。

1 レンズから4cmのところに紙を置くと、図2のようになりました。図2の円A、円Bは明るさの境目を、四角いわくは紙を表しています。円A、円B の直径はそれぞれ何cmですか。

2　紙をレンズから遠ざけていくと、再び1と同じ様子になりました。そのとき、紙とレンズの距離は何cmですか。またこのとき図2のア、イ、ウを明るい順に並べなさい。ただし、アは円Aの内側の部分、イは円Aと円Bにはさまれた部分、ウは円Bの外側の部分です。

3　紙とレンズの距離を20cmにしたとき、紙の様子は図3のようになりました。図3のエ、オ、カを明るい順に並べなさい。ただし、エは円Cの内側の部分、オは円Cと円Dにはさまれた部分、カは円Dの外側の部分です。また、点線の円Cはレンズと同じ直径の円を表しますが、そこが明るさの境目になるとは限りません。同じ明るさの場合は、例にならって同じ明るさのものを○で囲みなさい。

　　　例：エとオが同じ明るさで、カがそれよりも暗い場合

4　紙とレンズの距離をある距離にしたとき、紙全体が同じくらいの明るさになりました。そのときの距離は何cmですか。

5　直径が同じで、レンズの厚みがより厚いレンズを用いて同じ実験をすると、4の距離はどうなりますか。
　　　ア　長くなる　　　イ　短くなる　　　ウ　変わらない

【解説と解答】
1　
レンズからの距離が8cmのとき、ちょうど光が1点に集まりました。
4cmはその半分ですから、光の集まり方はレンズの直径のちょうど半分にになるのでAは6㎝になります。
一方レンズを通る光は直径12cmの範囲を通るので、Bは12cmです。
（答え）A　6㎝　B　12cm

2　8cmを過ぎてまた4cmのところで同じ状態になるので、8＋4＝12cmのところです。
アが一番明るく、次にレンズの外側になるウが明るくなり、イがその後になります。
（答え）　距離12cm　順　ア　ウ　イ

3　20÷8＝2.5ですから、8cm×2＝16cmのところで直径12cmの内輪ができます。それよりも外側に光が集まるので、オが一番明るく、次がレンズの外側のカになり、エが一番くらんくなります。
（答え）オ、カ、エ

4　ちょうど8cmの2倍のところになります。
（答え）16cm

5　焦点距離が短くなりますから、この距離も短くなります。
（答え）イ

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2015年麻布中学の問題です。

（１）$$\frac{a}{84}$$ ＝　$$\frac{1}{b}$$　となる整数の組（a,b)は（1,84)(84,1)を含めて12組あります。残り10組をすべて答えなさい。

（２）２つの整数c,dの最小公倍数は84であり、$$\frac{1}{c}$$　＋　$$\frac{1}{d}$$　＝　$$\frac{11}{84}$$となります。整数c、dをもとめなさい。ただし、cはdよりも小さいものとします。

（３）４つの整数e、f、g、hの最小公倍数は84であり、$$\frac{1}{e}$$　＋　$$\frac{1}{f}$$　＝　$$\frac{1}{g}$$　＋　$$\frac{1}{h}$$ となります。またe、fは3の倍数で、g、hは3の倍数ではありません。
整数e、f、g、hの組を2組答えなさい。ただし、eはfよりも小さく、gはhよりも小さいものとします。

【解説と解答】
（１）84の約数は1、2、3、4、6、7、12、14、21、28、42、84です。
したがって（a、b）＝（2、42）（3、28）（4、21）（6、14）（7、12）（12、7）（14、6）（21、4）（28、3）（42、2）の10組です。
（答え）（2、42）（3、28）（4、21）（6、14）（7、12）（12、7）（14、6）（21、4）（28、3）（42、2）

（２）$$\frac{11}{84}$$＝$$\frac{7}{84}$$＋$$\frac{4}{84}$$＝$$\frac{1}{12}$$＋$$\frac{1}{21}$$
（答え）c 12 d 21

（３）84の約数で3の倍数は3、6、12、21、42、84です。
$$\frac{1}{3}$$＝$$\frac{28}{84}$$ですから分母を84で通分すると分子は28になります。
同様に6は14、12は7、21は4、42は2、84は1です。
3の倍数にならない84の約数は1、2、4、7、14、28ですから、これも分母を84で通分すると分子は
84、42、21、12、6、3になります。

$$\frac{1}{e}$$　＋　$$\frac{1}{f}$$は分母を84で通分すると、28、14、7、4、2、1の2つの和になり、
$$\frac{1}{g}$$　＋　$$\frac{1}{h}$$は分母を84で通分すると、84、42、21、12、6、3の2つの和になります。これが等しいのは
（7、2）＝（6、3）　（14、1）＝（12、3）　（14、4）＝（12、6）です。
したがって
（e、f、g、h）＝（12、42、14、28）（6、84、7、28）（6、21、7、14）でこのうち2つを答えれば良いことになります。

（答え）（e、f、g、h）＝（12、42、14、28）（6、84、7、28）（6、21、7、14）から2つ

「映像教材、これでわかる数の問題」（田中貴）
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