平面図形の問題

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2015年筑波大駒場の問題です。


辺BCの長さが20cmで、辺ADと辺BCが平行である台形ABCDがあります。
 図1のように、辺BC上に2点P、Qがあり、直線APと直線DQが交わる点をRとします。

 また、BP、QCの長さをともに8cmとすると、三角形ABPと三角形PQRの面積が等しくなります。
 次の問いに答えなさい。
 なお、4点B、P、Q、Cはこの順にならんでいて、PQの長さはADの長さより短いものとします。
(l)辺ADの長さは何cmですか。
(2)図2と図3の台形ABCDは、図1の台形ABCDと同じ台形です。

(ア)図2のように、BPの長さを8cm、QCの長さを10cmにしました。三角形PQRの面積は、(1)のときの面積の何倍になりますか。
(イ)図3のように、QCの長さを10cmにして、BPの長さをある長さにしたとき、三角形ABPと三角形PQRの面積が等しくなりました。このとき、BPの長さは何cmですか。


【解説と解答】
(1)BP=8cm QC=8cmのときPQ=4cm 底辺の比が2:1ですから、三角形ABPと三角形PQRの面積が2倍になるためには、AP:PR=1:2になるので、AD=4÷2×3=6cmになります。
(答え)6cm

(2)
(ア)PQ=2cmですから、AP:PR=2:1です。
底辺が半分になり、高さは4分の1ですから、面積は8分の1です。
(答え)8分の1

(イ)
三角形ABPと三角形PQRの面積が等しいので、台形ABQDと三角形ARDの面積が等しいことになります。
台形の面積を【26】とすると、三角形QDCはQC=10cmより【10】
したがって、【16】が三角形ARDの面積になるから、ADは6cmより高さは、
16÷6=$$\frac{8}{3}$$倍になるので、
AP:PR=3:5
よって、BP:PQ=5:3
10÷(5+3)×5=6.25cmになります。
(答え)6.25cm

「映像教材、これでわかる比と図形」(田中貴)

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