2015年開成中学の問題です。（一部表記を改めています。）
いろいろな整数や分数アについて、＜ア＞を次のように決めます。
アが整数の時＜ア＞＝アとします。
（例） ＜3＞＝3、 ＜$$\frac{20}{2}$$＞＝＜10＞＝10
アが0と1の間の分数の時、はじめに数アをこれ以上約分できない分数で表します。
これが$$\frac{b}{a}$$となったら＜ア＞＝＜$$\frac{b}{a}$$＞=a＋bとします。 （例）＜$$\frac{2}{3}$$＞＝3＋2＝5、 ＜$$\frac{16}{20}$$＞＝＜$$\frac{4}{5}$$＞＝5＋4＝9
アが1より大きい分数の時、はじめに数アを帯分数にしてから、これ以上約分できない分数で表します。
これがc $$\frac{b}{a}$$となったら＜ア＞＝＜c $$\frac{b}{a}$$＞＝a＋b＋cとします。
（例）＜2 $$\frac{5}{6}$$＞＝2＋6＋5＝13、 ＜$$\frac{42}{10}$$＞＝＜4 $$\frac{1}{5}$$＞=4＋5＋1＝10
次の各問に答えなさい。
問1 次の（X）にあてはまる整数を答えなさい。
-1- ＜$$\frac{23}{5}$$＞＝（ X ）
-2- ＜（ X ）$$\frac{15}{12}$$＞＝30
-3- ＜$$\frac{4}{X}$$＞＝12
問2 ＜ア＞＝5となる整数または分数をすべて書き、小さいものから順に並べなさい。ただし、同じ値を二度以上書いてはいけません。
問3 アとして$$\frac{1}{27}$$、$$\frac{2}{27}$$、$$\frac{3}{27}$$、・・・、$$\frac{2014}{27}$$、$$\frac{2015}{27}$$
のように、分子が1以上2015以下の整数で分母が27である分数を考えます。この中で＜ア＞＝54となる数アをすべて取り出して、小さいものから順に並べます。このとき、小さい方から5番目の数と、大きい方から5番目の数をそれぞれ求めなさい。
【解説と解答】
問1
-1- 4＋5＋3＝12 （答え）12
-2- $$\frac{15}{12}$$＝1 $$\frac{1}{4}$$ですから、30－6＝24 （答え）24
-3- 12となるのは11：1 7：5 5：7 1：11なので11：1の1が4の時になります。（答え）44
問2
1つのものが5
2つのものが$$\frac{1}{4}$$と$$\frac{2}{3}$$
3つのものが1 $$\frac{1}{3}$$ 2 $$\frac{1}{2}$$になります。小さい順に並べます。
（答え）$$\frac{1}{4}$$、$$\frac{2}{3}$$、$$\frac{1}{4}$$、$$\frac{2}{3}$$ 、5
問3
一番小さいのは1 $$\frac{26}{27}$$＝$$\frac{53}{27}$$
次が2 $$\frac{25}{27}$$、 4 $$\frac{23}{27}$$、5 $$\frac{22}{27}$$、7 $$\frac{20}{27}$$＝$$\frac{209}{27}$$ でこれが5番目になります。
27の約数は1、3、9、27ですから、54＝$$\frac{1458}{27}$$が最大。次が50 $$\frac{1}{3}$$、次が49 $$\frac{2}{3}$$ で次の分数は$$\frac{1}{9}$$ なので44 $$\frac{1}{9}$$
ですから5番目は43 $$\frac{2}{9}$$＝$$\frac{1167}{27}$$
（答え）$$\frac{209}{27}$$、$$\frac{1167}{27}$$
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