2017年桜蔭中学の問題です。

右の図1は、1辺の長さがそれぞれ3cm、12cm、21cmの正方形を底面とする直方体から上の面を取り除いてできた3つの水そうA、B、Cを重ねて底面を固定した容器でこの容器を水平な床の上に置き、図のようにAにはAの蛇口から、BにはBの蛇口から、CにはCの蛇口から毎秒一定の量の水を同時に入れ始め、全ての水そうが水で満たされるまで3つの蛇口から水を入れ続けました。

　ただし、3つの蛇口から毎秒出る水の量は全て同じとし、容器の厚さは考えないものとします。
（1）右の図2は、水を入れ始めてから容器が水で満たされるまでの時間と水面の高さの関係を表したグラフです。水を入れ始めてから次のア秒後までの容器Bの水面が上昇する速さが毎秒$$\frac{1}{27}$$cm、ウが189であるとき、次の1)、2)を求めなさい。

1)1つの蛇口から1秒間に出る水の量
2)容器Cの高さ
（2）この容器を空にして、再び3つの蛇口から毎秒一定の量の水を入れました。全ての水そうが水で満たされるまでに2分かかったとき、1つの蛇口から1秒間に出る水の量を求めなさい。
【解説と解答】
（1）
1）Bの底面積は12×12－3×3＝144－9＝135cm2　毎秒$$\frac{1}{27}$$cmあがるのだから、135÷$$\frac{1}{27}$$＝5cm3が毎秒加わる水の体積になります。
（答え）5cm3
2）Aの体積は3×3×15＝135cm3なので、Aが満水になるまで135÷5＝27秒･･･ア
そのとき、Bには高さ1cmまで水が入っています。その後Bには10cm3の水が毎秒入っていくことになるので、高さが9cmですから、
残り8cmになり、12×12－3×3＝135　135×8÷10＝108秒　27＋108＝135がイ。
135秒までにCには5×135=675cm3の水が入り、残り189－135＝54　15×54＝810cm3の水が入るので、合計1485cm3。
21×21－12×12＝297　1485÷297＝5cm
（答え）5cm
（2）Aの体積は135cm3、Bの体積は135×9＝1215cm3　Cの体積は1485cm3　合計2835cm3
2835÷3÷120＝7$$\frac{7}{8}$$cm3
（答え）7$$\frac{7}{8}$$cm3

「映像教材、これでわかる比と図形」（田中貴）

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2017年駒場東邦の問題です。

次のように、分子が1以上434以下の整数で、分母が435である分数を小さい順にならべたものを考えます。
$$\frac{1}{435}$$、$$\frac{2}{435}$$、$$\frac{3}{435}$$、･･･$$\frac{434}{435}$$

（１）それ以上約分できない分数のことを既約分数と言います。次の分数を既約分数で表しなさい。

1）$$\frac{285}{435}$$
2）$$\frac{377}{435}$$

（２）既約分数は全部でいくつあるか答えなさい。
（３）既約分数ではない分数がもっとも長く続く並びをすべて求めなさい。ただし約分はせず$$\frac{A}{435}$$～$$\frac{B}{435}$$のように答えなさい。

【解説と解答】
（１）
1)285＝5×57＝3×5×19　435＝5×87＝3×5×29
より$$\frac{19}{29}$$
2)377=13×29より
$$\frac{13}{15}$$
（２）
既約分数は1から434の中で3でも5でも29でも割れない数、ということになります。

A＝0、B＝4　C=2　D＝28　F＝144－32＝112　G＝86－30＝56　E＝14－6＝8
4＋2＋28＋112＋56＋8＝210
434－210＝224
（答え）224個

（３）
3と5と29の倍数が続くところです。29の倍数で3と5の倍数ではないものを考えていくと
29×1＝29、30まで。
29×2＝58より57、58まで。
29×4＝116から114、115、116、117と４つ続きます。
29×7＝203より203、204、205、は該当しません。
29×8＝232から230、231、232、は該当しません。
29×11＝319より318、319、320、321と４つ続きます。
29×13＝377より377、378まで。
より
114から117と318～321
（答え）114から117と318～321

「映像教材、これでわかる数の問題」（田中貴）

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