今回は三角形の相似を発展させて、いろいろな図形の面積を求める問題と影の問題を考えます。
（例題１）
図のような長方形ABCDがあり、EはADの中点、FはDC上の点でDF:FC＝1：3です。
次の問いに答えなさい。
（１）BH：HFを求めなさい。
（２）AG:GH：HCを求めなさい。
(解説と解答）
（１）三角形ABHと三角形HFCは相似です。AB：FC＝1＋3：3＝4：3になるので、
BH：HF＝4：3になります。
（答え）4：3
（２）（１）からAH:HC＝4：3
また三角形AGEと三角形GBCの相似から、AG：GC＝1：2
4＋3＝7 1＋2＝3より7と3の最小公倍数21をACとすると、
AG＝21÷3＝7 HC＝21÷（4＋3）×3＝9より、GH＝21－7－9＝5
したがってAG:GH：HC＝7：5：9
（答え）7：5：9
（例題２）
図のような台形ABCDがあり、角DAE、角EBCはそれぞれ直角です。
EはAB上の点、FはDC上の点で、ADとEFは平行。DF：FC＝3：2
AD＝6cm、BC＝10㎝ です。次の問いに答えなさい。
（１）EFの長さを求めなさい。
（２）台形アと台形イの面積の比を求めなさい。
（１）図のようにDからBCに垂線を下ろし、BCとの交点をH、EFとの交点をGとします。
AD＝EG＝BH＝6cm HC＝10－6＝4cm
三角形DGFと三角形DHCの相似からHC：GF＝3＋2：3＝5：3より
GF＝4×$$\frac{3}{5}$$＝2.4cm
よってEFの長さは6＋2.4＝8.4cm
（答え）8.4cm
（２）アの上底＋下底は6＋8.4＝14.4 イの上底＋下底＝8.4＋10＝18.4
14.4：18.4＝72：92＝18：23
高さの比は3：2になるので、18×3：23×2＝54：46＝27：23
（答え）27：23
（例題３）
図のように直角三角形ABCと長方形BDECを組み合わせました。ADとBCの交点をF、ADとBEの交点をGとします。
三角形ABFの面積が15㎝2、三角形AFCの面積が9cm2になりました。次の問いに答えなさい。
（１）BG：GEを求めなさい。
（２）四角形FGECの面積を求めなさい。
（解説）
（１）三角形ABFと三角形AFCは高さがACと共通ですから、BF：FC＝15：9＝5：3
三角形AGFと三角形GDEは相似で、BF：DE＝5：5＋3＝5：8ですから、BG：GE＝5：8です。
（答え）5：8
（２）三角形AFCと三角形ADEの相似からAC:AE＝FC：DE＝3:8
よってAC：CE＝3：8－3＝3：5 三角形ABC＝15＋9＝24㎝2より、三角形BCE＝24÷3×5＝40cm2
BF:FC＝5：3、BG：GE＝5：8より
四角形FGEC＝40×（1－$$\frac{5}{8}$$×$$\frac{5}{13}$$）＝40×$$\frac{104-25}{104}$$
＝40×$$\frac{79}{104}$$＝$$\frac{395}{13}$$＝30$$\frac{5}{13}$$
（答え）30$$\frac{5}{13}$$cm2
（例題４）
長さが1mの棒の影が1.8ｍでした。図のような木の影が10.8m離れた壁に高さ2ｍまで来ていた時、この木の高さは何ｍですか。
（解説）
1mの棒の影が1.8ｍですから1：1.8＝5：9です。
AB：BD＝5：9ですからAB＝10.8÷9×5＝6ｍ
BC＝2ｍですから木の高さは6＋2＝8mです。
（答え）8ｍ
（例題５）
６ｍの街灯があり、そこから7.2ｍのところに太郎君が立っています。太郎君の身長は1.5ｍです。次の問いに答えなさい。
（１）このときの太郎君の影の長さは何ｍですか。
（２）太郎君が今立っているところから、街灯から離れるように毎秒2ｍで進みます。太郎君の影の長さが、12ｍになったのは出発してから何秒後ですか。
（解説）
（１）
街灯の高さと太郎君の身長は決まっています。
したがって三角形ABCと三角形DECの比は常に6：1.5＝4：1になるので、BE：EC＝3：1になります。
BE＝7.2ｍのとき、EC＝7.2÷3＝2.4ｍですから、太郎君の影は2.4ｍです。
（答え）2.4ｍ
（２）太郎君の影の長さが12ｍですから、太郎君は街灯から12m×3＝36ｍ離れたことになります。36－7.2＝28.8ｍより
28.8÷2＝14.4秒
（答え）14.4秒後
三角形の相似を使って、いろいろな図形の面積を求める問題は、単に平面だけではなく立体にも応用できます。したがって、この範囲は良く出題されますから、しっかり得意にしてください。
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