平面図形の問題

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2013年巣鴨中学の問題です。


下の図のように、1辺の長さが6cmの正方形ABCDがあります。辺AB、BC、CD、DAを2等分する点をそれぞれE、F、G、Hとします。DFとHGの交点をPとし、点Hを通り四角形EFPHの面積を2等分する直線をひき、その直線とEFの交点をQとします。また、点Qを通りBCと平行な直線と辺ABの交点をRとします。
 このとき、次の各問に答えなさい。
(1)三角形HFPの面積を求めなさい。
(2)EQ:QFをもっとも簡単な整数の比で求めなさい。
(3)QR:ARをもっとも簡単な整数の比で求めなさい。


(1)三角形HPFと三角形DPGは相似です。その比はHF:DG=6:3=2:1
したがってFP:PD=2:1より
三角形HFP=6×3÷2÷(2+1)×2=6
(答え)6cm2

(2)三角形HEOと三角形EOFはそれぞれ3×3÷2ですから合計すると9cm2になるので、四角形HEFpの面積は9+6=15㎝2になります。
したがって三角形HEQ=15÷2=7.5cm2 三角形HEF=9cm2ですから、三角形HQF=9-7.5=1.5cm2になるので
EQ:QF=7.5:1.5=5:1
(答え)5:1

(3)EQ:QF=5:1よりRQ:BF=5:6 三角形ERQは直角二等辺三角形ですからER=RQ
よってQR:AR=5:5+6=5:11
(答え)5:11


「映像教材、これでわかる比と図形」(田中貴)

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