2013年巣鴨中学の問題です。
下の図のように、1辺の長さが6cmの正方形ABCDがあります。辺AB、BC、CD、DAを2等分する点をそれぞれE、F、G、Hとします。DFとHGの交点をPとし、点Hを通り四角形EFPHの面積を2等分する直線をひき、その直線とEFの交点をQとします。また、点Qを通りBCと平行な直線と辺ABの交点をRとします。
このとき、次の各問に答えなさい。
（1）三角形HFPの面積を求めなさい。
（2）EQ：QFをもっとも簡単な整数の比で求めなさい。
（3）QR：ARをもっとも簡単な整数の比で求めなさい。
（１）三角形HPFと三角形DPGは相似です。その比はHF：DG＝６：３＝２：１
したがってFP：PD＝２：１より
三角形HFP＝６×３÷２÷（２＋１）×２＝６
（答え）６cm2
（２）三角形HEOと三角形EOFはそれぞれ３×３÷２ですから合計すると９cm2になるので、四角形HEFｐの面積は９＋６＝１５㎝2になります。
したがって三角形HEQ＝１５÷２＝７.５cm2 三角形HEF＝９cm2ですから、三角形HQF＝９－７.５＝１.５cm2になるので
EQ：QF＝７.５：１.５＝５：１
（答え）５：１
（３）EQ：QF＝５：１よりRQ：BF＝５：６ 三角形ERQは直角二等辺三角形ですからER＝RQ
よってQR:AR＝５：５＋６＝５：１１
（答え）５：１１
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