2012年慶應湘南の問題です。
正六角形ABCDEFの辺BC、DE、FAのそれぞれまん中の点をP、Q、Rとし、辺AB、CD、EF上にそれぞれS、T、Uをとり、図のように結んで六角形PTQURSを作る。この六角形PTQURSと正六角形ABCDEFの面積の比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。
正六角形の問題は増えてきていますが、結局どう切ってどう組み合わせるか、ということがポイントになります。正六角形は同じ正三角形6枚が組み合わさってできる図形なので、その正三角形と同じ面積の三角形に分けていくことで問題の解法が見つかっていくことが多いのです。
STUはどこにおいてもよいので、中点においてしまいましょう。その方がわかりやすくなります。
実際にはRとQが中点と決まっているのでUがEFの間のどこにあろうと斜線部の三角形の面積の合計は変わりません。
三角形EFDはこの正六角形の6分の1です。斜線の１つの三角形はその1/2×1/2＝1/4
になるので1/6×1/4＝1/24になりますが、これが６つあるので1/24×6＝1/4
真ん中の六角形は1－1/4＝3/4
したがって答えは３：４になります。
（答え）３：４
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