数列の問題

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2012年 桜蔭の問題です。


整数を下のAのように並べたものから,Bのような整数の列を作りました。
Bに並んでいる数は0から9までの整数のどれかです。

  A:2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,・・・

  B:2,4,6,8,1,0,1,2,1,4,1,6,1,8,2,0,・・・

 整数の列Bについて,次の問いに答えなさい。
 (1)はじめから100番目の数は何ですか。
 (2)はじめから40番目の数までの和を求めなさい。
 (3)53番目の5があらわれるのは,はじめから何番目ですか。


規則としては偶数を数字1つずつ並べていくということで、これ自体はすぐわかるでしょう。

(1)100番目の数字ですから、1ケタ 2ケタで分けていきます。

1ケタの場合 2から始まって4つ
2ケタの場合 10から98までです。(98-8)÷2×2=90個数字が並びます。したがって合計 4+90=94
あと6つですから 100 102 で答えはになります。

(2)はじめから40番目までの和を求めます。
 まず40番目は何かを考えましょう。40-4=36 36÷2=18 8から18番目の偶数ですから
 8+2×18=44ですから 44の後ろの4が40番目になります。
 2,4,6,8、0と1の位は繰り返します。(2+4+6+8)×4+2+4=80+6=86
 あとは10の位で1が5つ 2が5つ 3が5つ 4が3つですから 1×5+2×5+3×5+4×3=5+10+15+12=42 
 したがって合計は 86+42=128 になります。

(3)5は奇数ですから、10の位 100の位でしか現れません。
 まず50の位で5個、150の位で5個、250の位で5個、350の位で5個 450の位で5個、ここまでで25個です。
 残り53-25=28個
 50□で 5個 51□で5個 52□で5個 53□で5個 54□で5個でここまでで25個 合計50個です。
 次が550 次が552 だから552の最初の5が53番目の5です。
 これが最初から何番目かを考えます。
 1ケタが4個
 2ケタが10~98まで(98-8)÷2×2=90個
 3ケタが100~550までで(550-98)÷2×3=678個
 これに+1すれば答えです。
 4+90+678+1=773
 で答えは773番目ということになります。

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