2015年筑波大付属駒場の問題です。
分母と分子がともに整数である真分数（分子が分母より小さい分数）に対して、次のような操作を考えます。
その数の逆数が
ア 帯分数で表せるとき、その帯分数の整数部分を消して、真分数にする。
イ 整数の時、0にする。
上の操作を1回と数え、操作の結果できた数に対して、この操作を0になるまで繰り返し行います。
例えば最初の数が$$\frac{3}{10}$$のときは、
最初の数 $$\frac{3}{10}$$
1回目の操作の結果 $$\frac{1}{3}$$
2回目の操作の結果 0
となるので、操作を2回を行うと0になります。次の問いに答えなさい。
（１）最初の数が $$\frac{7}{27}$$のとき、操作を何回行うと0になりますか。
（２）７個の数、$$\frac{1}{8}$$、$$\frac{2}{8}$$、$$\frac{3}{8}$$、$$\frac{4}{8}$$、
$$\frac{5}{8}$$、$$\frac{6}{8}$$、$$\frac{7}{8}$$のうち、0になるまでの操作の回数が最も多いものはどれですか。
（３）ある真分数に操作を繰り返し行ったところ、0になるまでに6回かかりました。最初の数として考えられるもののうち、分母が最も小さなものを答えなさい。
【解説と解答】
（１） $$\frac{7}{27}$$ → $$\frac{6}{7}$$ → $$\frac{6}{1}$$ → 6 で3回です。
（答え）3回
（２）$$\frac{1}{8}$$、$$\frac{2}{8}$$、$$\frac{4}{8}$$は1回
$$\frac{3}{8}$$ → $$\frac{2}{3}$$ → $$\frac{1}{2}$$ →2 で3回
$$\frac{5}{8}$$ → $$\frac{3}{5}$$ → $$\frac{2}{3}$$ →$$\frac{1}{2}$$ →2 で4回
$$\frac{6}{8}$$ → $$\frac{2}{6}$$ → 3 で2回
$$\frac{7}{8}$$ → $$\frac{1}{7}$$ → 7 で2回
より$$\frac{5}{8}$$
（答え）$$\frac{5}{8}$$
（３）$$\frac{5}{8}$$より小さくて4回になるものはありません。
2回以上のものを考えると
$$\frac{2}{3}$$ 2回
$$\frac{3}{4}$$ 2回
$$\frac{2}{5}$$ 2回 $$\frac{3}{5}$$ 3回 $$\frac{4}{5}$$ 2回
$$\frac{4}{6}$$ 2回 $$\frac{5}{6}$$ 2回
$$\frac{2}{7}$$ 2回 $$\frac{3}{7}$$ 2回 $$\frac{5}{7}$$ 3回 $$\frac{6}{7}$$ 2回
です。
したがって6回で分母が1番小さいためには $$\frac{5}{8}$$ をさらに2回増やせばいいので、
$$\frac{8}{13}$$ → $$\frac{13}{21}$$ になります。
（答え）$$\frac{13}{21}$$
「映像教材、これでわかる数の問題」（田中貴）
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