平面図形の問題

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2014年灘中学の問題です。


次の( 1 )、( 2 )にあてはまる数を答えなさい。

図のように、面積が18cm2の正六角形ABCDEFの内部に点Gをとり、6つの頂点とGをそれぞれ直線で結びます。

3点B、G、Eと、3点D、G、Fがそれぞれ一直線上にあるときは三角形ABGの面積は( 1 )cm2です。

また、3点C、G、Eと3点D、G、Fがそれぞれ一直線上にあるときは三角形ABGの面積は( 2 )cm2です。

(解説と解答)
(1)

台形ABEFは正六角形の半分。三角形GFE(図のイ)は正六角形の6分の1の正三角形の半分。三角形AGF(図のア)は正六角形の6分の1の正三角形と同じです。
したがってウの部分は18÷2-18÷6÷2-18÷6=9-1.5-3=4.5

【答え】4.5cm2

(2)

DからEFに平行に線を引きCEとの交点をHとし、BEとDFの交点をIとします。
HDはDEの半分になるのでDG:GF=1:2 DI:IF=1:1よりGI:IF=1:3
三角形CDEは正六角形の6分の1
三角形BCGと三角形EFGの和は正六角形の3分の1
三角形AFGはGI:IF=1:3より正六角形の6分の1の$$\frac{4}{3}$$倍。
したがって三角形ABGは
18-18÷6-18÷3-18÷6×$$\frac{4}{3}$$=18-3-6-4=5

【答え】5cm2


「映像教材、これでわかる比と図形」(田中貴)

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