場合の数の問題

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2013年逗子開成中学の問題です。


1から5の数字が1つずつ書かれた5枚のカードと下のような表があります。
表の下段ア~オの位置に、これら5枚のカードを1枚ずつ置きます。このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)カードの置き方は何通りありますか。

(2)上段の数字と下段に入るカードの数字が一致する場所がちょうど2つとなるようなカードの置き方は何通りありますか。

(3)上段の数字と下段に入るカードの数字が一致する場所が、1つ以下になるようなカードの置き方は何通りありますか。


(解答と解説)
(1)5枚のカードの並べ方ですから
5×4×3×2×1=120
(答え)120通り

(2)5つの中で一致する2組の選び方は5×4÷2=10組あります。
1と2が一致したとします。
このとき、残りは一致してはいけません。その並び方は図のように2通りです。

したがって全体では2×10=20通り

(答え)20通り

(3)一致する組が1組か0組かの場合です。これは全体から2組以上一致する場合を引けばいいことになります。
まず5組一致する場合は1通りです。
4組一致する場合はありません。4組一致すれば必ず5組一致します。
3組一致する場合は
3組の選び方が5×4×3÷(3×2×1)=10通り
で1、2、3が一致すれば5、4とするしかないのでそれぞれ1通りですから10通り
2組が一致する場合は(2)より20通りですから、
120-1-10-20=89通り
(答え)89通り

一致する組が1と0の場合を考えるか、全体から引くか、を判断することがスピードを速めるコツですが、5組一致、3組一致が比較的簡単に出ることがわかるので、こちらを選んだ方が得策でしょう。

「映像教材、これでわかる場合の数」(田中貴)
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