今週は場合の数の中から順列について考えます。
中学受験の場合の数は高度で、大学受験のような問題も散見されますが、まずは基本的なことを考えていきましょう。
順列と組み合わせ
場合の数には大きく２つの考え方があります。
ひとつは順列。そしてもう一つは組み合わせです。この区別をまずつけておかなければなりません。
例えばABCという３つの文字があります。
これは組み合わせとしては１通りになります。しかし、順番を考えると
ABC ACB BAC BCA CAB CBA
と６通りになります。
このように並べ方（順番）を考えるのが順列の考え方です。一方、順番を考えない場合の数が組み合わせです。ABCであろうとBACであろうと１通りである、と考えるのが組み合わせです。
例えばABCの３人の中から２人の日直を決めるのは、日直の間に区別がありません。したがってAB、AC、BCの３通りしかありません。これはだれを除くか、で考えてもよく、日直にならない人は３通りあるので、答えは３通りあります。
しかし、ABCの中から議長と副議長を決める場合の数は、これでは間違いになります。つまり議長と副議長では区別がついているのでAが議長でBが副議長の場合と、Bが議長でAが副議長の場合は違うのです。
したがって議長の決め方は３通り、議長が一人決まったところで、残り２人だから副議長の決め方は２通り。全体の決め方は３×２＝６通りとなります。
場合の数については、順番があるか、ABCとBACは違うのか、同じものなのかをまず判断して、そこから次のステップに向かってください。
順列の考え方
１、２、３、４の４枚のカードがあります。これを使って３ケタの整数を作ると、作り方は何通りありますか。
最初のうちは樹形図を書くよう練習するでしょう。これはイメージを作るためには大事なことです。例えば百の位を１とすると、以下のような表をつくることができます。
全部で６通りありますから、百の位が１から４まで４通りあるので、
６×４＝24通りと考えることができるでしょう。
この問題は３つのマスを考えます。
この枠に１つずつ数を入れていくことを考えます。まずAに入る数の入れ方は４通りあります。ひとつ使ってBに入れる入れ方は３通り、Cに入れる入れ方もまた１つ減るので２通り。
したがって４×３×２＝24通り と答えを出します。
これが積の考え方です。
場合の数にはもうひとつ和の考え方があります。次の問題を考えてみましょう。
図のようにAからまっすぐCまで行く道が１つ、AからBまでの道が２つ、BからCまでの道が２つあります。AからCまで、後戻りせず行く行き方は何通りありますか。
AからBまでは２通り、BからCまでは２通りですから、AからBを通ってCに行く方法は積の考え方で２×２＝４通りです。
しかしAからCまでまっすぐ行く行き方はBとは関係ありません。したがってこれは先の４通りに加えなければならないので、４＋１＝５通りです。
これが和の考え方です。順列では、この積の考え方と和の考え方を使って問題を解いていきます。
ABCDEの５人を１列に並べます。次の問いに答えなさい。
（１）Aが先頭にくる並び方は何通りありますか。
（２）ABがとなりになる並び方は何通りありますか。
並ぶのですから、これは順番があります。したがって順列の考え方で問題を解いていきましょう。
まず（１）ですがAが先頭に来ると残りは４人です。２番目にくるのは４通り、３番目にくるのが３通り、４番目にくるのが２通り、５番目にくるのが１通りになるので、
４×３×２×１＝24通り になります。
（答え）24通り
（２）ABが必ず並ぶために、まずABをセットにして１人にしてしまいます。そうすると５人は４人と同じですから、
４×３×２×１＝24通りの並び方になります。ただ、ABと並ぶか、BAと並ぶかで２通りあるので
24×２＝48通りが答えになります。
（答え）48通り
道の問題
和の考え方を使って、最短で行く道の問題を解くことができます。
AからBまで最短で行く方法は何通りありますか。
下図で、AからDへは１通り。AからCへも１通りです。したがってEに行く行き方は１＋１＝２通りになります。
AからFへは１通りですからGに行く行き方はFからとEからをたすので
１＋２＝３通りになります。
このようにして和を繰り返すと右図のようになり、AからBまでの行き方は６通りということになります。
（答え）６通り
旗のぬり分け
旗のぬり分けは、積の考え方で解いていきます。
図のような旗を赤、青、白、緑の４色でぬりわけます。これについて次の問いに答えなさい。
（１）４色すべて使って、となりが同じ色にならないようにぬり分ける方法は何通りありますか。
（２）使わない色があっても良いが、となりが同じ色にならないぬり分け方は何通りありますか。
（１）
すべての色を使うとAに４通り、Bに３通り、Cに２通り、Dに１通りですから、
４×３×２×１＝24通りです。
（答え）24通り
（２）使わない色があっても良いとすると、最低何色でぬり分けられるでしょうか。
同じ色であっても構わないのはBとDだけです。したがって（１）以外に３色でぬりわける方法があります。
使わない色が４通り。３色を赤、青、白としましょう。そうすると、Aには３通り、BDには２通り、Cが１通りですから、ぬり方は４×３×２×１＝24通り
したがって合計24×２＝48通り
（答え）48通り
ということで、順列の基本の考え方について説明しました。順列の意味、和の考え方、積の考え方をまず理解した上で、やはり問題演習をしながら慣れていくことが必要です。
樹系図を書いて全部書き出す、という問題もたまに出題されますし、全部が全部計算で出るわけではありません。したがって柔軟に対応できるように、練習していきましょう。
以下のプリントもお役立ていただければと思います。
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