容積に関する問題

2016年桜蔭中学の問題です。


直方体の形をした池に噴水があります。池の深さは2mで,底面は1辺の長さが10mの正方形です。噴水は,毎時25分から20分間,池の外から引いてきた水をふき出します。
噴水に使う水の量は毎分100Lです。また,毎時27分から10分間,池の水を外に流し出します。流し出す水の量は毎分150Lです。
 たとえば,9時25分から20分間,噴水は水をふき出します。また,9時27分から10分間,池の水を外に流し出します。これを1時間ごとにくり返します。
 ある日の午前7時の水の深さは1mでした。このとき,次の問いに答えなさい。ただし,水の蒸発は考えないものとし,噴水の水はすべて池の中に落ちるとします。また,噴水の水がふき出してから池に落ちるまでの時間も考えないものとします。
(1)この日の午前8時の水の深さを求めなさい。
(2)この日の午前10時30分の水の深さを求めなさい。
(3)この日は午前11時に雨が降り始めました。雨が降っている間,水面の高さは毎分0.05mmずつ上がっていきます。午後2時35分に雨がやんだとき,池の中の水の量は何Lであるか求めなさい。


【解説と解答】
(1)7時から8時の間に、10分間、池の水が外に出るので 150×10=1500L。
噴水の水は外から引かれているから、100×20=2000Lの水が中に入ります。したがって、500Lの水が入るので、
1L=1000cm3ですから、500000cm3。 底面積が1000×1000=1000000cm2なので、深さは0.5cm増えます。
したがって100.5cm
(答え)100.5cm

(2)10時までに101.5cmになっています。
10時30分の段階で、噴水は5分間出て、池の水は3分間外に出ているので、100×5−150×3=50Lの水が増えます。
50000÷1000000=0.05cm増えるから、101.55
(答え)101.55cm

(3)午後2時までに、池の水は午前7時から7時間たっているので、雨の影響がなければ0.5×7=3.5cm増えています。
雨は2時までに3時間降っているので、180分。0.05mm×180=9mmですから0.9cm。
したがって4.4cm。あとは2時35分までに150×8−100×10=1200−1000=200L減るので、
200000÷1000000=0.2cm減って、雨で0.05×35=1.75mm=0.175cm増えるから0.025cm減ります。
したがって深さは4.4−0.025=4.375cm増えるから104.375cm
104.375×1000000÷1000=104375L
(答え)104375L

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