2015年筑波大駒場の問題です。
辺BCの長さが20cmで、辺ADと辺BCが平行である台形ABCDがあります。
図1のように、辺BC上に2点P、Qがあり、直線APと直線DQが交わる点をRとします。
また、BP、QCの長さをともに8cmとすると、三角形ABPと三角形PQRの面積が等しくなります。
次の問いに答えなさい。
なお、4点B、P、Q、Cはこの順にならんでいて、PQの長さはADの長さより短いものとします。
（l）辺ADの長さは何cmですか。
（2）図2と図3の台形ABCDは、図1の台形ABCDと同じ台形です。
（ア）図2のように、BPの長さを8cm、QCの長さを10cmにしました。三角形PQRの面積は、（1）のときの面積の何倍になりますか。
（イ）図3のように、QCの長さを10cmにして、BPの長さをある長さにしたとき、三角形ABPと三角形PQRの面積が等しくなりました。このとき、BPの長さは何cmですか。
【解説と解答】
（１）BP=8cm QC＝8cmのときPQ＝4cm 底辺の比が2：1ですから、三角形ABPと三角形PQRの面積が2倍になるためには、AP：PR＝1：2になるので、AD=4÷2×3＝6cmになります。
（答え）6cm
（２）
（ア）PQ＝2cmですから、AP：PR＝2：1です。
底辺が半分になり、高さは4分の1ですから、面積は8分の1です。
（答え）8分の1
（イ）
三角形ABPと三角形PQRの面積が等しいので、台形ABQDと三角形ARDの面積が等しいことになります。
台形の面積を【26】とすると、三角形QDCはQC＝10cmより【10】
したがって、【16】が三角形ARDの面積になるから、ADは6cmより高さは、
16÷6＝$$\frac{8}{3}$$倍になるので、
AP：PR＝3：5
よって、BP：PQ＝5：3
10÷（5＋3）×5＝6.25cmになります。
（答え）6.25cm
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