図形の移動に関する問題

2015年聖光学院の問題です。


図1のように、1辺の長さが6cmの正方形ABCI)と1辺の長さが3cmの正方形PQRSが、点Sと点Aが重なっていて、辺AB上に点Rがあるように置かれています。図1の状態から、図2のように正方形PQRSが正方形ABCDの周りをすべらないように反時計回りに回転するとき、次の問いに答えなさい。ただし、円周率は3.14とします。

(1)  点Qが点Bに重なるまで正方形PQRSが回転するとき、対角線PRが通過する部分の面積を求めなさい。

(2)  点Qが点Bに重なるまで正方形PQRSが回転するとき、対角線QSが通過する部分を鯨巻線の図に斜線で示し、その部分の面積を求めなさい。

(3)  正方形PQRSが正方形ABCDの周りを回転し、元の図1の状態に戻ってくるとき、対角線QSが通過する部分の面積を求めなさい。


【解説と解答】
(1)
以下のように動きますから、対角線PRが動くのは斜線部分になります。

この半径は求められませんが、半径×半径は3×3×2=18になるので、18×3.14×\frac{1}{4}=14.13cm2

(答え)14.13cm2

(2)以下のように動きます。

斜線部分の面積は半径3cmの2分の1円から、4.5×3.14×\frac{1}{4}と3×3×\frac{1}{2}を引くので

4.5×3.14-1.125×3.14-4.5=10.5975-4.5=6.0975
(答え)6.0975cm2

(3)
もう90°回転すると図のように動きますから、求める面積は

ア4つとイ4つの合計になります。
ア=3×3×2×3.14÷2=28.26より28.26×4=113.04
イ=3×3÷2-4.5×3.14÷4=4.5-3.5325=0.9675 0.9675×4=3.87
よって113.04+3.87=116.91cm2
(答え)116.91㎝2

「映像教材、これでわかる比と図形」(田中貴)

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