平面図形の問題

2014年攻玉社中学の問題です。


次の図について後の問いに答えなさい。
1辺の長さが30cmの正方形ABCDがあります。図の●は、辺ABと辺CDをそれぞれ3等分する点です。また点Gは辺CDの真ん中の点です。このとき、正方形の頂点やいくつかの点を図のようにむすび、交わったところの点を図のように、H、I、K、Lとします。

(1)点Gと点Hを直線でむすんだときの、GHの長さは何cmですか。
(2)次の比を求めなさい。
1 HL:LD
2 EK:KD
3 EI:IF

(3)点Eと点Lを結んだときのELの長さを求めなさい。
(4)四角形EKLIの面積を求めなさい。


【解説と解答】
(1)三角形DHGと三角形DBCは相似で、その比が1:2になるので、HG=30÷2=15cm

(答え)15cm

(2)
1 三角形ALDと三角形LHGの相似からHL:LD=15:30=1:2
(答え)1:2
2 三角形AEKと三角形KDGの相似からEK:KD=10:15=2:3
(答え)2:3
3 三角形EBIと三角形IFGの相似からEI:IF=EB:GF=20:5=4:1
(答え)4:1

(3)
三角形EBLと三角形ABDの相似からEL=30÷3×2=20cm

(答え)20cm

(4)

三角形EFD=20×30÷2=300cm2
EH:HF=1:1より三角形EHD=300÷2=150cm2
EK:KD=2:3 HL:LD=1:2より四角形EHLKは
150×(1-\frac{3}{5}×\frac{2}{3})=150×\frac{3}{5}=90cm2
HL:LD=1:2
EH:HF=1:1 EI:IF=4:1よりHI:IF=1.5:1=3:2
三角形HLI=150×\frac{1}{3}×\frac{3}{5}=30cm2
したがって四角形EKLI=90+30=120cm2

(答え)120cm2

「映像教材、これでわかる比と図形」(田中貴)
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