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数の性質の問題

筑波大駒場中の問題です。

鍵のついたロッカーが200個あり、それぞれのロッカーに1から200までの番号がひとつずつ書いてあります。
最初すべてのロッカーは扉が閉まっています。これら200個のロッカーに、次の100回の操作を行います。
なお、以下で『開閉する』とは、ロッカーが閉まっていれば開け、開いていれば閉めることです。

1回目すべてのロッカーを開ける

2回目番号が2の倍数であるすべてのロッカーを閉める

3回目番号が3の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

4回目番号が4の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

･･･

100回目　番号が100の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

例えば2回目の操作の直後は、番号が奇数である100個のロッカーが開いていて、番号が偶数である100個のロッカーは閉まっています。

100回目の換作が終わったとして、次の問いに答えなさい。

（1）番号が1から10までの10個のロッカーのうち、開いているロッカーの番号をすべて書きなさい。

（2）番号が99、100、101のロッカーは、それぞれ何回開閉されましたか。開けた回数と閉めた回数の合計を答えなさい。

（3）200個のロッカーのうち、開いているロッカーは何個ありますか。

【解説と解答】
（1）10回が終わったとき、開いているロッカーを○、閉じているロッカーを×で表すと、
1→○　2→×　3→×　4→○　5→×　6→×　7→×　8→×　9→○　10→×
となりますから開いているのは、1、4、9です。
（答え）1、4、9

(2)1が操作されたのは最初だけ。2は最初と2の倍数、3は最初と3の倍数、4は最初と2の倍数と4の倍数、ということなので各数の約数の個数分開閉されたことになります。
99→3×3×11より約数の数は3×2＝6個だから6回。最初、3、9、11、33、99　ただし約数は100以下でなければなりません。
100→2×2×5×5　約数は3×3＝9個ありますから9回。最初、2、4、5、10、20、25、50、100の9回です。
101→素数で、101は100より大きくなるので1回です。
（答え）99→6回　100→9回　101→1回

（3）200個の中で1～100までは平方数が空いています。したがって1、4、9、16、25、36、49、64、81、100です。
101以上の数については約数が偶数個あるものはすべて開きます。
101から200までの平方数は、121、144、169、196の4つだけですから、200－100－4＝96個
したがって96＋10＝106個
（答え）106個