「各校の入試問題から」カテゴリーアーカイブ

平面図形の問題

2011年　ラサール中学の問題

図のように長方形ABCDの辺AB、BC、CD、DA上にそれぞれ点P、Q、R、Sをとります。さらに四角形SPXQとSQYRがともに平行四辺形となるように点X、Yをとります。このとき次の問いに答えなさい。

（１）四角形PQRSの面積を求めなさい。

（２）五角形SPXYRの面積を求めなさい。

（１）は長方形から４つの直角三角形を引きます。
６×５＝30
１×４÷２×２＋５×２÷２＋３×２÷２＝４＋５＋３＝12
30－12＝18
(答え）18cm2

（２）等積移動を考えます。

三角形PSQと三角形PQXは同じ。　三角形SQRと三角形QRYは同じ。

三角形PQR＋三角形QXY＝三角形PQX＋三角形QRY＝18㎝2

三角形PQR＝（１＋３）×６÷２－１×４÷２－２×３÷２＝12－２－３＝７

したがって三角形QXY＝18－７＝11

五角形SPXYR＝18×２＋11＝47

（答え）47cm2

三角形PQR＋三角形QXY＝三角形PQX＋三角形QRY＝18㎝2

に気が付いてしまえば、難しくはないでしょう。等積移動という考え方を学ぶのに良い問題だと思います。

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中和の問題

2010　フェリス中学の問題です。

6個のビーカー（①～⑥）を用意し、それぞれにA液（うすい塩酸またはうすい水酸化ナトリウム水よう液。すべて同じ種類の液体。）を100cm3ずつ入れました。
そこへB液（これもうすい塩酸またはうすい水酸化ナトリウム水よう液。ただしA液とは別の種類の液体。）を、表のように、①には加えず、②～⑥には20cm3～100cm3加えました。
各ビーカーの水よう液を温めて水を蒸発させ、残った固体の重さを測りました。その結果を表とグラフに示しました。

1　A液は、うすい塩酸ですか、それともうすい水酸化ナトリウム水よう液ですか。あてはまるものに○印をつけ、そう考えた理由を答えなさい。

2　残った固体が食塩だけであるビーカーの番号をすべて書きなさい。

3　B液を何cm3混ぜれば、A液とB液を混ぜたものがちょうど中性になると考えられますか。
4　B液を10cm3混ぜたとき、残った固体に含まれる食塩の重さは何gと考えられますか。

中和の問題です。

水酸化ナトリウム水溶液を固定して、塩酸を入れていけば、できる食塩はある一定量まで増えて、それ以上はできなくなります。水酸化ナトリウムがなくなった時点で塩酸だけになるので、塩酸は蒸発してしまいます。
この問題の場合、食塩が15ｇでこれ以上増えていきませんから、水酸化ナトリウムを固定して、塩酸を入れていったということになります。

または①の段階ですでに固体が残っているので、Ａ液が水酸化ナトリウム水溶液と言っても良いでしょう。

（１）うすい水酸化ナトリウム水溶液　○
　理由　Ｂを60㎝3以上いれても固体が増えないから、Ｂの溶質は固体ではないので、Ｂは塩酸と決まるから。

（２）グラフから食塩が15ｇできた段階で、水酸化ナトリウムがなくなります。したがって全部が食塩なので、④、⑤、⑥が該当します。

（答え）④、⑤、⑥

（３）グラフの増え方からすると、④では本来16ｇになっていないといけないのですが、それが15ｇで止まったので、中和は50㎝3でおこったと考えられます。