2013年灘一日目の問題です。

図の直角三角形ABCで、Mは辺ABの真ん中の点です。またアの角度は15度、ACとMDの長さはともに5㎝です。イの角の大きさとBDの長さを求めなさい。

まずMからBDに垂線を下ろし、その交点をNとします。
MがABの中点ですからMN＝5÷2＝2.5cm
したがって三角形NMDは正三角形の半分の直角三角形になるので、角MDN＝30°
角ADC＝90－15＝75°ですからイは180－30－75＝75°
（答え）イ　75°

三角形MNDと相似な直角三角形を三角形ACPとします。
（もしくはAからMDに平行に線を引いてBCの延長線との交点をPとしても同じです。）

このとき、角PAD＝60＋15＝75°　角ADP＝75°ですからAP＝DP
三角形MNDと三角形ACPの相似比は１：２　したがってAP＝DP＝10cm
DはBPの中点になるので、BD＝10cm
（答え）10cm

「映像教材、これでわかる比と図形」（田中貴）

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2013年駒場東邦の問題です。

１辺の長さが12cmの正方形ABCDがあり、図１のようにBを中心とする半径BDの円と直線BCの延長線との交点をEとします。BEを二等分する点をMとするとき、Bを中心とする半径BMの円をかき、BA、BDとの交点をそれぞれF、Gとします。このとき次の問いに答えなさい。ただし、円周率は3.14とします。

図１

(1)図１の斜線部の面積を求めなさい。

(2)Gを通りABに垂直な直線とABとの交点をHとするとき、GHの長さを求めなさい。

(3)ABを直径とする円をかくとき、図２の斜線部の面積を求めなさい。

図２

（１）MはBEの中点ですから、おおぎ形BGMとおおぎ形BDEの面積比は１：４です。
角DBCは45°ですから、BD×BD＝12×12×2＝288
したがっておおぎ形BGMの面積は288×3.14÷8÷4＝28.26
（答え）28.26cm2

（２）
図３

GHはADの半分になるので12÷2＝6cm
（答え）6cm

（３）
図４
斜線部は4分の1円AHG＋直角二等辺三角形HGB－おおぎ形FBGになるので、
6×6×3.14÷4＋6×6÷2－9×3.14＝18
（答え）18㎝2

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