2016年豊島岡女子学園第3回の問題です。

私たちは常にまわりの空気（大気）から押されています。
例えば図１のように、なめらかに動くピストン（ふた）で空気を閉じ込めて、容器からもれないようにします。このとき、ピストンの上に何ものせなくても、ピストンにはまわりの空気から下向きの力が加わっており、このピストンに加わっている力は10kgです。
図２のように、ピストンの上におもりをのせて、容器内の空気にさらに力を加えると、ピストンは下がります。また容器内の温度を高くしていくと、ピストンは上がります。
　ピストンの上にのせるおもりの重さを変えたり、容器内の温度を変えたりして、容器の底からピストンまでの『ピストンの高さ』を調べたところ、表１～３のようになりました。
　ピストンの上におもりをのせず、容器内の温度が0℃のとき、ピストンの高さは54cmでした。
以下の問いに答えなさい。ただし、ピストンの重さと厚さは考えない物とします。また容器は十分に高く、ピストンは容器から外れないものとします。答えは小数点以下第1位を四捨五入して整数で答えること。

（１）容器内の温度を0℃に、おもりの重さを50kgにすると、ピストンの高さは何cmになるかを答えなさい。

（２）おもりの重さを5kgに、容器内の温度を180℃にすると、ピストンの高さは何cmになるかを答えなさい。

（３）おもりの重さを10kgに、容器内の温度を80℃にすると、ピストンの高さは何cmになるかを答えなさい。

（４）次の文章の（　１　）（　２　）にはいる数値を答えなさい。

おもりの重さを20kgにしてピストンの高さを25cmにすることを考えます。実験より、おもりの重さが20kgのときピストンの高さを1cm上げるためには、（　１　）℃だけ上げればよいことが分かります。また容器内の温度が0℃でのピストンの高さは18cmなので、（　２　）℃にすれば、ピストンの高さは25cmになると計算できます。

（５）容器内の温度を30℃にしてピストンの高さを15cmにするには、おもりを何kgにすればよいかを答えなさい。

（１）温度が0℃で、最初ピストンの高さは54cmでした。このときすでに10kgの重さがかかっていることに気をつけてください。
10kgかかっている（おもりはのっていない）ところで54cm
20kgかかっている（10kgのおもりがのっている）ところで27cm
30kgかかっている（20kgのおもりがのっている）ところで18cmです。
2倍になれば2分の1、3倍になれば3分の1になっています。
したがって50kgのおもりをのせれば60kgになるので、54cmの6分の1になるから9cmになります。

【答え】9cm

（２）表の2で、温度については15℃について2cm、30℃で4cm、60℃で8cmと一定に増えていることがわかります。
したがって180℃にすると、180÷60×8＝24cmですから、36＋24＝60cmになります。
【答え】60cm

（３）表の3では、15℃について1.5cmですから、20℃では2cmになるので、
33＋2＝35cmになります。
【答え】35cm

（４）5kgと10kgですが、これは最初の10kgを考えると15kgと20kgになり温度15℃について表2は2cm、表3は1.5cmでした。
すると重さ20gでは最初の10kgを加えると30kgになるので、表2の半分の1cmになります。したがって1cm上げるのに15℃上げればよいことになります。
また0℃で18cmであればそこから7cm上げることになりますから、15×7＝105℃になります。
【答え】１　15℃　２　105℃

（５）
表2から30℃で5kgは40cm　表3から30℃で10kgで30cmです。それぞれ最初の10kgを加えると
15kgで40cm、20kgで30cmということになります。したがって20kgの半分にするわけですから、重さは2倍の40kg必要で、そこから10kg引くから30kgになります。

【答え】30kg

「映像教材、これでわかる力のつりあい」（田中貴）

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次の図のように、重さや強さが同じ磁石A・Bを電子天ぴんと上皿天ぴんの上にのせ、その上にコの字型の電磁石を近づけました。これ以後、電磁石と磁石A・Bの間の距離は変わらないようにします。上皿天ぴんがつり合うように反対側には分銅をのせ、バネばか
りで引き上げました。コイルに電流を流しても上皿天ぴんがつり合うようにバネばかりを動かして調整しました。下の表はコイルに流れる電流の大きさを変化させた時の電子天ぴんとバネばかりの示す値をまとめたものです。

1)表から電流の値が大きくなるごとに、電子天びんの値が小さくなっているので磁石Aは電磁石に引かれていることがわかります。したがってアはS極です。一方バネばかりの値も減少しているので、磁石Bは段々重くなっています。したがってB側の電磁石はN極になっているので、磁石Bの上もN極になります。
（答え）ア　S極　Bの上　N極

2)電流が0の時、天びんの値は100gで、ばねばかりは80gです。
磁石Aと磁石Bは同じ重さなので、分銅は100＋80＝180gになります。

（答え）180g

3）６Aでは電気の流れが変わらなければ、電子てんびんは64g、ばねばかりは44gになるので、電磁石は36gの力です。
向きが反対になると今度は引かれることになるので、磁石Bが100－36＝64gになるのと同じです。
したがってばねばかりは180－64＝116g

（答え）116g

「映像教材、これでわかる電気」（田中貴）
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2014年攻玉社中学の問題です。

次の図について後の問いに答えなさい。
1辺の長さが30cmの正方形ABCDがあります。図の●は、辺ABと辺CDをそれぞれ3等分する点です。また点Gは辺CDの真ん中の点です。このとき、正方形の頂点やいくつかの点を図のようにむすび、交わったところの点を図のように、H、I、K、Lとします。

（１）点Gと点Hを直線でむすんだときの、GHの長さは何cmですか。
（２）次の比を求めなさい。
1　HL：LD
2　EK：KD
3　EI：IF

（３）点Eと点Lを結んだときのELの長さを求めなさい。
（４）四角形EKLIの面積を求めなさい。

【解説と解答】
（１）三角形DHGと三角形DBCは相似で、その比が１：2になるので、HG＝30÷2＝15cm

（答え）15cm

（２）
1　三角形ALDと三角形LHGの相似からHL：LD＝15：30＝1：2
（答え）1：2
2　三角形AEKと三角形KDGの相似からEK：KD＝10：15＝2：3
（答え）2：3
3　三角形EBIと三角形IFGの相似からEI：IF＝EB：GF＝20：5＝4：1
（答え）4：1

（３）
三角形EBLと三角形ABDの相似からEL＝30÷3×2＝20cm

（答え）20cm

（４）

三角形EFD＝20×30÷2＝300cm2
EH：HF＝1：1より三角形EHD＝300÷2＝150cm2
EK：KD＝2：3　HL：LD＝1：2より四角形EHLKは
150×（1-$$\frac{3}{5}$$×$$\frac{2}{3}$$）＝15０×$$\frac{3}{5}$$＝90cm2
HL：LD＝1：2
EH：HF＝1：1　EI：IF＝4：1よりHI：IF＝1.5：1＝3：2
三角形HLI＝150×$$\frac{1}{3}$$×$$\frac{3}{5}$$＝30cm2
したがって四角形EKLI＝90＋30＝120cm2

（答え）120cm2

「映像教材、これでわかる比と図形」（田中貴）
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