数の性質の問題

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2012年 慶應中等部の問題です。


3けたの整数のうち、どの位の数も異なり、またどの位も0でない整数Ⅹについて考えます。整数Ⅹに対して、≪Ⅹ≫は「各位の数字を並べかえてできる数のうち、最も大きい数と最も小さい数の差」を表します。例えば、Ⅹ=142のとき、421と124の差を求めて、≪Ⅹ≫=297となります。
 次の(   )に適当な数を入れなさい。
(1)≪Ⅹ≫の値は、最も小さい場合で(   )、最も大きい場合で(   )になります。
(2)≪Ⅹ≫=Ⅹとなるとき、Ⅹ=(   )です。


(1)各位の数をABCとし、A>B>Cとすれば、100×A+10×B+Cが最大の数になり、100×C+10×B+Aが最小の数になります。したがってその差は常に、99×A-99×C=99×(A-C)になるので、A-Cの最大と最小を考えればよいことになります。

AとCの差は間に必ずBがいるので、最小で2。最大は8になります。したがって最も小さい場合が99×2=198 最も大きな場合が99×8=792

(答え)最も小さい場合 198 最も大きい場合 792

(2)≪Ⅹ≫=99×(A-C)ですから198、297、396、495、594、693、792 です。
最も大きな数と最も小さな数を調べると 198→8 だから ≪198≫=792  297→7 だから  ≪297≫=693 396→6 だから ≪396≫=594 495→5 だから ≪495≫=495 

693→6 だから ≪693≫=594  792→7 だから ≪792≫=693 

なので求めるⅩは495 です。

(答え)495


「映像教材、これでわかる数の問題」(田中貴)

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