n進法

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2012年ラ・サール中学の問題。


どのくらいにも1や7の数位が現れない整数を2から小さい順に、

2、3、4、5、6、8、9、20、22、23、24、25、26、28、29、・・・・

と並べます。次の問いに答えなさい。

(1)このような2ケタの整数20、22、23、・・・、99はいくつありますか。

(2)999は何番目の整数ですか。

(3)2012番目の整数は何ですか。


n進数の考え方をしていきます。
1と7が使えないので、結局使える数は0、2、3、4、5、6、8、9になります。

のでこれを、0、1、2、3、4、5、6、7に置き換えて8進法で考えます。

つまり0=0 2=1 3=2 4=3 5=4 6=5 8=6 9=7と置き換えるのです。

(1)8進法で2ケタは10から77までですから10進法に直すと8~63までになるので63-7=56個あります。
(答え)56個

(2)999は8進法で777に変わります。
したがって1×7+8×7+64×7=8×8×8-1=511番目になります。
(答え)511番目

(3)2012を8進法で表すと
2012=8×251+4=8×8×31+8×3+4=8×8×8×3+8×8×7+8×3+4 になるので
3734
となります。
これを変換するので3=4 7=9 4=5ともどして
4945
が答えになります。
(答え)4945

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