数の性質の問題

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2011年駒場東邦の算数の問題です。


50個の電球に1~50までの番号がつけられています。それぞれの電球にはボタンがあり、それを1回押すと、ついている電球は消え、消えている電球はつきます。
はじめにすべての電球が消えていて、次の規則で50回の操作を行います。

(1回目) 番号が1の倍数である電球のボタンを押す。
(2回目) 番号が2の倍数である電球のボタンを押す。
(3回目) 番号が3の倍数である電球のボタンを押す。
(50回目)番号が50の倍数である電球のボタンを押す。

すべての換作が終わったとき、次の問いに答えなさい。

(1)番号1~10の電球それぞれについて、電球がついていれば○、消えていれば×を解答用紙の表にかきなさい。
(2)番号1~50の電球の中で、ついている電球の個数はいくつですか。
 また、その電球の番号はどんな数かを述べなさい。
(3)番号1~50の電球の中で、4回ボタンが押された電球の個数はいくつですか。


まず1回目に全部の電気がつきます。だから偶数回スイッチが押されれば消え、奇数回スイッチが押されれば電気はついています。

(1)はしたがって1から10の中で奇数回押される数は何かを考えればいいことになります。つまりそれは約数が奇数個ある数はどれかということです。普通、約数は偶数個あります。例えば6は約数が1、2、3、6となりますが、1×6 2×3のようにペアを組めるので約数は偶数個になるのです。しかし、平方数はa×aのように重なるので、約数が奇数個になります。
例えば4は約数は1、2、4というように約数が奇数個あることになります。

したがって1、4、9が○、それ以外は×ということになります。

(2)これを50までに進めればいいわけですから、
1×1=1 から7×7=49 までの7個ということになります。

どんな数かについて、同じ整数を掛け合わせてできた積と説明すれば、良いでしょう。

(3)4回ボタンが押されるということは約数が4個あるということです。
例えば1から10まででいえば、6は1、2、3、6 8は1,2,4,8 10は1,2,5、10となります。
この構造を考えてみると、2×素数であることがわかります。

50÷2=25ですから25以下の素数を考えてみると、
2、3、5、7、11、13、17、19、23ですが、2はあてはまりませんので、これを除くと8個です。

次に2以外の素数×素数が考えられます。
3×5 3×7、3×11 3×13 5×7

最後に同じ整数が3つ掛け合わせたものがあります。

2×2×2=8 3×3×3=27

したがって、8+5+2=15個あることになります。まあ、50個なので、書き出してもそれほど時間はかからないかもしれませんが。


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