2011年駒場東邦の算数の問題です。
50個の電球に1～50までの番号がつけられています。それぞれの電球にはボタンがあり、それを1回押すと、ついている電球は消え、消えている電球はつきます。
はじめにすべての電球が消えていて、次の規則で50回の操作を行います。
（1回目） 番号が1の倍数である電球のボタンを押す。
（2回目） 番号が2の倍数である電球のボタンを押す。
（3回目） 番号が3の倍数である電球のボタンを押す。
(50回目）番号が50の倍数である電球のボタンを押す。
すべての換作が終わったとき、次の問いに答えなさい。
（1）番号1～10の電球それぞれについて、電球がついていれば○、消えていれば×を解答用紙の表にかきなさい。
（2）番号1～50の電球の中で、ついている電球の個数はいくつですか。
また、その電球の番号はどんな数かを述べなさい。
（3）番号1～50の電球の中で、4回ボタンが押された電球の個数はいくつですか。
まず１回目に全部の電気がつきます。だから偶数回スイッチが押されれば消え、奇数回スイッチが押されれば電気はついています。
（１）はしたがって１から10の中で奇数回押される数は何かを考えればいいことになります。つまりそれは約数が奇数個ある数はどれかということです。普通、約数は偶数個あります。例えば６は約数が１、２、３、６となりますが、１×６ ２×３のようにペアを組めるので約数は偶数個になるのです。しかし、平方数はa×aのように重なるので、約数が奇数個になります。
例えば４は約数は１、２、４というように約数が奇数個あることになります。
したがって１、４、９が○、それ以外は×ということになります。
（２）これを50までに進めればいいわけですから、
1×1=1 から7×7=49 までの７個ということになります。
どんな数かについて、同じ整数を掛け合わせてできた積と説明すれば、良いでしょう。
（３）4回ボタンが押されるということは約数が４個あるということです。
例えば１から10まででいえば、６は１、２、３、６ ８は１，２，４，８ 10は１，２，５、10となります。
この構造を考えてみると、２×素数であることがわかります。
50÷２＝25ですから25以下の素数を考えてみると、
２、３、５、７、11、13、17、19、23ですが、２はあてはまりませんので、これを除くと８個です。
次に２以外の素数×素数が考えられます。
３×５ ３×７、３×11 ３×13 ５×７
最後に同じ整数が３つ掛け合わせたものがあります。
２×２×２＝８ ３×３×３＝27
したがって、８+５+２＝15個あることになります。まあ、50個なので、書き出してもそれほど時間はかからないかもしれませんが。
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