2015年桜蔭中学の問題です。
図のように、番号のついたいろいろな大きさの円柱があります。１の円柱の底面の半径は2cmで、番号が１つ増えるごとに底面の半径は、前の番号の円柱の半径の2倍になっています。円柱の高さはすべて3cmです。これらの円柱を何個か積み重ねて新しい立体を作ろうと思います。ただし、円柱の底面の円の中心どうしが重なるように積み重ねます。
図１のように3の上に2、2に上に1を積み重ねた立体を{3、2、1}、図2のように3の上に4を積み重ねた立体を{3、4}のように表すことにします。
このとき、立体{3、2、1}と立体{1、2、3}は同じ立体となります。次の問いに答えなさい。
（１）図１の立体 {3、2、1}の表面積を求めなさい。
（２）立体 {6、3、4、2、5}と立体{6、5、4、3、2}の表面積の差を求めなさい。
（３）1、2、3、4、5の円柱を1つずつ使って立体を作ります。
立体{5、4、3、2、1}と同じ表面積になる{5、4、3、2、1}以外の立体をすべて答えなさい。ただし解答らんの{ア、イ、ウ、エ、オ}において、アはオよりも大きいものとします。
【解説と解答】
（１）３の半径は8cm、２の半径は4cm、１の半径は2cmです。
したがって（8×2×3.14＋4×2×3.14＋2×2×3.14）×3＋8×8×3.14×2＝（84＋128）×3.14＝212×3.14＝665.68cm2
（答え）665.68cm2
（２）側面積では差が出ません。
また上から見た底面積と下から見た底面積でも差が出ません。
差は下の図の赤い部分になるので、
（32×32－4×4＋16×16－4×4＋16×16－8×8＋32×32－8×8）×3.14＝（1024－16＋256－16＋256－64＋1024－64）×3.14＝2400×3.14＝7536cm2
（答え）7536cm2
（３）図のように凸体になればいいことになります。
したがって以下の表のように一番大きい5が左から2番目と左から3番目に置いたとき、5までを段々大きく、5からは段々小さくする、という形で並べればいいことになります。
左から4番目は左から2番目と同じになるので、重ならないように注意します。
答えは
となります。
「映像教材、これでわかる比と図形」（田中貴）
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