2015年麻布中学の問題です。
たて40cm、よこ30cm、高さあcmの直方体の形をした水そうがあり、図のように仕切りで区切られています。この仕切りの両側に図のような水道A、Bがあり、両方からそれぞれ毎秒18 $$\frac{3}{4}$$ mLの割合で水を入れていきます。
水を入れ始めてから5分36秒後にAから入った方の水の高さとBから入った方の水の高さとが等しくなり、水を入れ始めてから7分28秒後にはA側とB側が同時にいっぱいになりました。このとき、以下の問いに答えなさい。ただし、図は正確とは限りません。また、仕切りの厚さは考えないものとします。
（1）あは何cmですか。
（2）いは何cmですか。
（3）うは何cmですか。
【解説と解答】
(1) 7分28秒＝448秒で満水になったのですから、
18 $$\frac{3}{4}$$×448×2＝16800 が容積になります。
16800÷（30×40）＝14
（答え）14cm
(2)5分36秒＝336秒より
18 $$\frac{3}{4}$$×336×2＝12600
12600÷1200＝10.5cmが同じ高さになったときの高さです。
全体の高さは14cmですから、残り14－10.5＝3.5cmのA側とB側の容積が等しく、また高さ10.5cmまでのA側の容積とB側の容積が等しくなります。
10.5cmの高さがA側の凸部分でなければ2度同じ高さにはならないので、高さ10.5cmはA側からの凸部分中にあります。
A側の凸部の底面積をA、B側の底面積をBとすると、この高さは8cmで、AとBの底面積の比が1：5である部分の合計の高さは14－8＝6cmなので、
A×8＋1×6＝B×8＋5×6
A×8＝B×8＋24
A＝B＋3 A＋B＝6よりA：B＝4.5：1.5
したがっていの長さは
30÷6×4.5－5＝22.5－5＝17.5cm
（答え）17.5cm
(3)
全体の底面積を6とすればうの高さまではAが1、Bが5
次に10.5cmまでで同じ容積の水になるので、A側の容積は6×10.5÷2＝31.5
うを越えるとAが4.5、Bが1.5になるので、4.5が10.5cmあれば
4.5×10.5＝47.25
47.25－31.5＝15.75
15.75÷（4.5－1）＝4.5cmがうの高さになります。
（答え）4.5cm
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やめればいいというものではない
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