立体に関する問題

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2014年海城中学の問題です。


すべての辺の長さが6cmである三角すいABCDにおいて、辺AC、ADをそれぞれ3等分する点のうち点C、Dに近い方をそれぞれ点P、Qとします。
また点Rは辺AB、BC上を動く点とします。ただし、点Rは点Aと点Cには重なりません。
3つの点P、Q、Rを通る平面で三角すいABCDを切ったときにできる2つの立体のうち、点Aを含む立体を、点Cを含む立体をとします。

(1) 点Rが辺ABのちょうどど真ん中にあるとき、の体積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。

(2)点Rが辺BCを3等分する点のうち点Cに近い方にあるとき、の体積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。


(1)
の方は三角すいの

$$\frac{1}{2}$$×$$\frac{2}{3}$$×$$\frac{2}{3}$$=$$\frac{2}{9}$$

になるので、

は1-$$\frac{2}{9}$$=$$\frac{7}{9}$$ですから答えは2:7になります。

【答え】2:7

(2)PQRを通る平面とBDの交点をSとするとPQとCDは平行になり、RSとCDも平行になります。

したがって底面は以下のようになり、底面RTUSの部分は三角柱、底面CRTとUSDでひとつの正四面体になります。

正四面体の部分は全体の$$\frac{1}{3}$$×$$\frac{1}{3}$$×$$\frac{1}{3}$$=$$\frac{1}{27}$$

三角柱の部分は底面を三角すいの断面PRTとすると高さ2cmのすい体が$$\frac{1}{27}$$なので、高さ4cmの柱体は$$\frac{1}{27}$$×2×3=$$\frac{6}{27}$$になります。

したがっては$$\frac{1}{27}$$+$$\frac{6}{27}$$=$$\frac{7}{27}$$


1-$$\frac{7}{27}$$=$$\frac{20}{27}$$

=20:7

【答え】20:7

「映像教材、これでわかる比と図形」(田中貴)

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