規則性の問題

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2013年 巣鴨中学の問題です。


ある規則にしたがって帯分数が、次のように左から並んでいます。
このとき各問いに答えなさい。

1$$\frac{2}{3}$$ ・ 5$$\frac{6}{7}$$ ・ 9$$\frac{10}{11}$$ ・ 13$$\frac{14}{15}$$ ・・・

(1)7番目の分数を求めなさい。
(2)並んでいるすべての帯分数を仮分数にしたとき、10番目の分数の分子の数を求めなさい。
(3)(2)のとき、仮分数の分子が2549になる分数は何番目ですか。


(解説と解答)
(1)整数部分の次の数が分子、その次の数が分母です。
整数部分は1、5、9、13・・・となっているので、1から4ずつ増えます。
n番目の整数部分は1+4×(n-1)となっているので、7番目は1+4×(7-1)=25ですから、求める数は25$$\frac{26}{27}$$です。

(答え)25$$\frac{26}{27}$$

(2)同様に考えると10番目の整数部分は1+4×(10-1)=37ですから、10番目は37$$\frac{38}{39}$$となるので、仮分数にしたときの分子は39×37+38=1481

(答え)1481

(3)整数部分をpとすると求める数はp$$\frac{p+1}{p+2}$$ということになります。
したがって仮分数にしたときはp×(p+2)+(p+1)=2549ということになります。
最後にp+1を足しているので、2549-1=2548はp×(p+2)+p=p×(p+3)になるから、2548はPの倍数です。
そこで2548を素因数分解してみると、
2548=2×1274=2×2×637=2×2×7×7×13=49×52となるからP=49です。
したがって(49-1)÷4+1=13番目になります。

(答え)13番目

「映像教材、これでわかる数の問題」(田中貴)

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