2013年 巣鴨中学の問題です。
ある規則にしたがって帯分数が、次のように左から並んでいます。
このとき各問いに答えなさい。
1$$\frac{2}{3}$$ ・ 5$$\frac{6}{7}$$ ・ 9$$\frac{10}{11}$$ ・ 13$$\frac{14}{15}$$ ･･･
（１）７番目の分数を求めなさい。
（２）並んでいるすべての帯分数を仮分数にしたとき、10番目の分数の分子の数を求めなさい。
（３）（２）のとき、仮分数の分子が2549になる分数は何番目ですか。
（解説と解答）
（１）整数部分の次の数が分子、その次の数が分母です。
整数部分は1、5、9、13･･･となっているので、1から4ずつ増えます。
n番目の整数部分は1＋4×（n－1）となっているので、7番目は1＋4×（7－1）＝25ですから、求める数は25$$\frac{26}{27}$$です。
（答え）25$$\frac{26}{27}$$
（２）同様に考えると10番目の整数部分は1＋4×（10－1）＝37ですから、10番目は37$$\frac{38}{39}$$となるので、仮分数にしたときの分子は39×37＋38＝1481
（答え）1481
（３）整数部分をpとすると求める数はp$$\frac{p+1}{p+2}$$ということになります。
したがって仮分数にしたときはp×（p+2）+（p+1）＝2549ということになります。
最後にp+1を足しているので、2549-1＝2548はp×（p+2）+p＝p×（p+3）になるから、2548はPの倍数です。
そこで2548を素因数分解してみると、
2548＝2×1274=2×2×637＝2×2×7×7×13=49×52となるからP＝49です。
したがって（49-1）÷4+1＝13番目になります。
（答え）13番目
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